湖南省多所学校2022-2023学年高一数学上学期第一次联考试卷（Word版有解析）

高一数学试卷一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.【详解】解：，，故选：C.2.已知命题，．则（）A.p为真命题，，B.p为假命题，，C.p为真命题，，D.p为假命题，，【答案】B【解析】【分析】利用根的判别式即可判断命题的真假，再根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得出答案.详解】解：对于方程，即，，所以方程无解，故p为假命题，，.故选：B.3.“”是“”的（） A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】解：因为不能推出，且可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：A4.给出下列关系：（1）；（2）；（3）；（4）．其中不正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据集合的性质，逐项分析，即可.【详解】解：空集是任何集合的子集，故（1）正确，是一个点集,而0是一个数，所以（2）错误，，所以（3）正确，所以（4）错误.故选：B.5.若，且，则下列不等式中不恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】用特殊值判断B,根据基本不等式，判断ACD. 【详解】解：，即，故A对，取，此时，故B错，因，所以，所以，故C对，因为，所以，所以，故D对，故选：ACD6.若命题“，”是假命题，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定，结合函数性质解决恒成立问题，分类讨论，可得答案.【详解】由题意，命题“”时真命题，令，当时，可得显然成立，符合题意；当时，由二次函数的性质，可得，则，解得，综上，.故选：A.7.甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】解：根据韦达定理得，，原不等式的两根满足，解得：，故解集为：，故选：D.8.若，且M中至少含有一个质数，则满足要求的M的个数为（）A.16B.20C.24D.32【答案】C【解析】【分析】由题意，才有列举法，将符合题意的集合一一列举出来，可得答案.【详解】由题意，可以取的所有值有，其中质数有，当且中只有一个质数时，集合有，，，，，，，；当且中只有一个质数时，集合有，，，，，，，；当时，集合有，，，，，，，；故总个数为个.故选：C.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】解一元二次不等式求得两集合，再根据交集和补集的定义即可判断AB，根据补集的 定义和集合间的关系即可判断CD.【详解】解：或，，则，故A错误；，故B正确；，故C正确，D错误.故选：BC.10.已知实数a，b，c，若，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】易得，且，再根据不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：因为，则，且，所以，，故A，C正确；当时，，故B错误；因为，所以，所以，故D正确.故选：ACD.11.成立的一个充分不必要条件可以是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】先因式分解，即可求解，再根据充分不必要条件的判断，即可求出答案. 【详解】解：原式可化为，解得或，故选：AB.12.已知关于x的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由题意可以判断A错误；根据图像的平移变换，可得变换前后对称轴不变，即，变形后可判断B正确；根据,亦可判断C正确，通过举反例，即可判断D错误.【详解】解：由题意得,故A错误，因为将二次函数的图像上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数的图像，所以,即，B正确，如图，又，所以，C正确，当时，，，所以，D错误.故选：BC.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知，，则ab的最小值为______，最大值为______． 【答案】①.②.【解析】【分析】由，得，再根据不等式同向可乘性这一性质即可得出答案.【详解】解：因为，所以，又，所以，所以，所以ab的最小值为，最大值为.故答案为：；.14.某年级先后举办了数学和音乐讲座，其中参加数学讲座的人数是参加音乐讲座的人数的，只参加数学讲座的人数是只参加音乐讲座的人数的，有20人同时参加数学、音乐讲座，则参加讲座的人数为______．【答案】120【解析】【分析】根据集合交集、并集的性质进行求解即可.【详解】解：设参加数学讲座的学生的集合为A,参加音乐讲座的学生的集合为B，则，解得：,又，所以,则参加讲座的人数为120,故答案为：120.15.设，，若，则最大值为______．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值.【详解】因为，所以，，可得， 当且仅当时，取最大值.故答案为：.16.已知集合恰有8个子集，则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先分解因式，再根据二次函数有两解，由即可求解.【详解】解：集合恰有8个子集，故集合中有3个元素，即有三个不同的解，即有两个不为0的解,即，且，解得且，，所以.故答案为：四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为，不等式的解集为．（1）求；（2）已知，正数a，b满足，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根据取整函数的定义解不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根据并集的定义计算可得；（2）依题意可得，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【小问1详解】 解：由，则，解得，即，由，即，解得，所以，所以.【小问2详解】解：因为，所以，又，，所以当且仅当，即时取等号，所以的最小值为；18.已知，，．（1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；（2）若是r的必要条件，求m的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设集合为命题对应的集合，为命题对应的集合，由题意可得集合是集合的真子集，从而可得出答案；（2）设集合为命题对应的集合，为命题对应的集合，由题意可得，从而可得出答案.【小问1详解】解：由，即或，设，，因为p是q的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 所以；【小问2详解】解：由，即，，设，因为是r的必要条件，所以，所以，解得，所以m的最大值为.19.设集合，，．已知．（1）求A；（2）若，求所有满足条件的a的取值集合．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，即可求解.(2)对集合B分类讨论即可求解.【小问1详解】解：，又，所以，所以 【小问2详解】解：因为，所以①时，，②时，，所以时，，时，，综上，20.如图，直角三角形是一个展览厅的俯视图，矩形是中心舞台，已知，．（1）要使中心舞台的面积大于，求的取值范围．（2）当的长度为多少时，中心舞台的面积最大？并求出最大的面积．【答案】（1）（2）时，中心舞台的面积最大，最大的面积为【解析】【分析】（1）设，根据三角形相似表示出，再根据即可表示出矩形的面积，从而得到不等式，解得即可；（2）根据二次函数的性质计算可得.【小问1详解】解：在直角三角形中，，所以，设，依题意可得，所以，所以，， 又，即，所以，所以，所以，解得，所以的取值范围为.【小问2详解】解：因为，所以当，即时，中心舞台的面积最大，最大的面积为；21.（1）若的解集为，求实数a，b的值；（2）已知，求关于x的不等式的解集．【答案】(1);(2)①时，解集为，②时，解集为，③时，解集为.【解析】【分析】（1）根据韦达定理即可求解；（2）分解因式，再分类讨论的大小，即可求解.【详解】解：（1）由题意得，为的两个根，且，由韦达定理得：,②式除①式，整理得，，解得或，所以或(舍去).(2)整理得，即， ①时，即，所以解集为，②时，即，所以解集为，③时，即，所以解集为.22.（1）已知x，y为正实数．证明：．（2）对任意的正实数x，y，均有成立，求k的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由，应用基本不等式求范围，即可证结论；（2）应用柯西不等式有，结合恒成立，即可求范围.【详解】（1）由x，y为正实数，，当且仅当，即等号成立，所以得证.（2）由柯西不等式有，则，当且仅当时等号成立，又x，y为正实数， 所以，而恒成立，所以