四川省巴中市2023届高三数学（理）上学期9月零诊考试试题（Word版含解析）

巴中市普通高中2020级“零诊”考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设全集，若集合满足．则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由补集的概念得后对选项逐一判断详解】由题意得，故B正确故选：B2.若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（）A.B.C.3D.－3【答案】D【解析】【分析】先化简复数为，可求虚部.【详解】因为，所以；所以复数的虚部为.故选：D.3.已知直线：，：，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出时的的取值，然后利用条件的定义进行判定.【详解】因为直线：，：，若，则，即； 所以“”是“”的充分不必要条件；故选：A.4.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用焦点到渐近线的距离得出，再求得后可得离心率【详解】由双曲线可得，一条渐近线：，设双曲线的右焦点为，则点到直线的距离，所以，离心率.故选：D5.已知，是两个不同的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一判断即可.【详解】对于A，若，，则或，错误；对于B，若，，还需要条件而不是才能得到，错误；对于C，若，，则或，又因为，则，正确； 对于D，若，，，还需要条件才能得到，错误.故选：C.6.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（）A.B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式与三角函数的定义求解【详解】由题意得，得，而在终边上，故，得故选：A7.函数在区间上的图象为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后代入计算，从而得正确答案.【详解】， 为奇函数，排除A；又，排除B；，即，排除C，故选：D8.已知等差数列的前项和为，若，且，则（）A.0B.1C.2022D.2023【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式，判断出是等差数列，利用等差数列的通项公式进行求解.【详解】设等差数列的公差为，则，；因为，所以是等差数列；因为，所以，所以；故选：A9.已知点在直角的斜边上，若，，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】设，则可用表示，从而可求其范围.【详解】设，其中，则，从而，故，故选：D.10.设，若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出平移后函数的解析，再根据两个图象重合可求的解析式，从而可求其最值.【详解】函数的图象向左平移个单位长度后对应的解析式为：，但该函数图象与的图象重合，故，故，但，故，故选：B.11.已知定义在上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据递推关系以及所给解析式，求出相关区间的解析式，利用可求答案.【详解】因为当时，，所以；当时，，；当时，，；令，得或（舍）；若对任意，都有，则的取值范围是.故选：B.12.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据式子的结构两边取对数后构造函数及，再利用单调性可求解【详解】由，，可得，则，令，则，令，则， 所以在上单调递减，又，所以当时，，所以，所以在上单调递减，从而，所以，即，从而可知.由，,可得，则，令，则，令，则，所以在上单调递减，又，所以当时，，所以，所以在上单调递减，从而，所以，即，从而可知.综上可得.故选：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知，若，则______．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解.【详解】.故答案为：.14.某智能机器人的广告费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表：广告费用（万元）2356销售额（万元）28314148 根据上表可得回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为______万元．【答案】【解析】【分析】计算出样本中心后可求，从而可求广告费用为8万元时销售额.【详解】，，所以，，所以广告费用为8万元时销售额（万元）故答案为：15.在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为______．【答案】【解析】【分析】由题意可推出AD,CD,BD两两垂直，故以AD,CD,BD为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体，三棱锥的外接球即该长方体的外接球，由此可求答案.【详解】因为平面，平面，故又，，，故,,所以,即,故AD,CD,BD两两垂直，故以AD,CD,BD为相邻棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体，如图： 则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，外接球半径为，所以三棱锥外接球的体积为，故答案为：16.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则______，的取值范围为______．【答案】①.##；②.【解析】【分析】由正弦定理结合即可求出，进而求出；先切化弦将转化为，再由结合三角恒等变换得，结合的范围及正弦函数的性质求得的范围，即可求解.【详解】由正弦定理得，又，则，又，则，则，则； ，由可得，又为锐角三角形，则，可得，则，又，则，则，即，则.故答案为：；.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17.已知数列的前项和为，若，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）利用与的关系可将题设的递推关系转化为关于的递推关系，从而可求其通项.（2）利用错位相减法可求.【小问1详解】因为，故，故即而，故，故，故，且，故，所以为等比数列，且首项为2，公比为2，从而.【小问2详解】,故，故，所以，所以.18.自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入到绿色运动“健步走”行列以提高自身的健康水平与身体素质．某调查小组为了解本市不同年龄段的市民在一周内健步走的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，部分结果如下表所示，其中一周内健步走少于5万步的人数占样本总数的，45岁以上（含45岁）的人数占样本总数的．一周内健步走万步一周内健步走＜5万步总计45岁以上（含45岁）9045岁以下总计 （1）请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；（2）现从样本中45岁以上（含45岁）的人群中按一周内健步走的步数是否少于5万步用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中一周内健步走步数不少于5万步的人数为，求的分布列及数学期望．附：0.1500.1000.0500.0252.0722.7063.8415.024，其中．【答案】（1）完善表格见解析；有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望.【解析】【分析】（1）根据样本总数200，以及所给比例可完善表格，计算卡方，结合临界值进行判断；（2）先根据分层抽样明确各层人数，然后确定的所有取值，逐个求解概率，写出分布列，计算数学期望.【小问1详解】一周内健步走万步一周内健步走＜5万步总计45岁以上（含45岁）903012045岁以下503080总计14060200，所以有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关； 【小问2详解】由题意知，从45岁及以下的市民中按分层抽样法抽取一周内健步走的步数不少于5万步的市民5人，一周内健步走的步数少于5万步市民的3人；从这8人随机抽取2人，则的所有取值为0,1,2.，，；所以分布列为012数学期望.19.如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先由证得∥平面，同理证得∥平面，进而证得平面∥平面，即可证得平面；（2）先证得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由向量夹角余弦公式即可求解. 【小问1详解】由正方形的性质知：，又平面，平面，∥平面，，平面，平面，∥平面，，平面，平面∥平面，平面，平面；【小问2详解】平面平面，平面平面，平面，则平面，又，则平面，又，则两两垂直，以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由得：，则，设平面的法向量为，则，取得，又易得平面的一个法向量为，则，又二面角为锐角，则二面角的余弦值为. 20.已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．（1）求椭圆的方程；（2）若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．【答案】（1）（2），此时直线的斜率为【解析】【分析】（1）根据斜率之积为定值可求出，再利用算出直接写出椭圆方程即可；（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长，当斜率存在时，切线方程为与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值即可求解.【小问1详解】由椭圆可得，所以，解得，因为椭圆经过点，故得到，解得，所以椭圆的方程为【小问2详解】当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，代入椭圆得解得，所以； 当切线不垂直轴时，设切线方程为即，所以圆心到切线的距离，得，把代入椭圆方程，整理得设，则，设，则，则，所以，综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为；（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知函数，其导函数为．（1）证明：当时，函数有零点； （2）若对任意正数，且，总存在正数使得．试探究与的大小，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点存在定理可证明函数有零点；（2）利用导数可证明：，从而可证.【小问1详解】，当时，，故，由零点存在定理可得当时，函数有零点.【小问2详解】因为，，整理得到，下证：，即证， 令，则，即证：，设，则，故为上的增函数，故，即，故，故，即，所以，故，整理得到：，但，故，所以，所以.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22.在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于A，两点，求的值．【答案】（1），（t为参数）；（2） 【解析】【分析】（1）由直线经过点，倾斜角为，可直接写出其参数方程；利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,利用参数的几何意义可求得的值.【小问1详解】因为直线经过点，倾斜角为，故直线的参数方程为,（t为参数），即，（t为参数）；由可得，即，将代入，可得曲线的直角坐标方程为；【小问2详解】设A,B两点对应的参数为，将直线l的参数方程代入，即中，得：，整理得，此时，故.23.已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，若正数，，满足，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分，，三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可；（2）先由绝对值三角不等式求出，再由结合基本不等式求解即可.【小问1详解】当时，，由可得，则；当时，，由可得显然成立，则；当时，，由可得，则；综上：不等式的解集为；【小问2详解】，当且仅当即时取等，，则，又，，均为正数，则，当且仅当，即时等号成立，则.