山东省烟台栖霞市第一中学2022-2023学年高三数学上学期第一次月考试题（Word版含答案）

阶段性考试数学试题第I卷（选择题）一、单选题1．若集合，，则A．B．C．D．2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）A．B．C．D．3．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）参考数据：A．B．C．D．4．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（    ）A．1B．2C．D．5．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．6．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（    ）试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．7．已知,且,则A．0B．C．D．18．已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（    ）A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b二、多选题9．下列说法错误的是（    ）A．若，则存在唯一实数使得B．两个非零向量，，若，则与共线且反向C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是D．在中，，则为等腰三角形10．已知向量，，，设，所成的角为，则（    ）A．B．C．D．11．已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ）试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．的振幅为2B．为的对称中心C．向右平移单位后得到的函数为奇函数D．在上的值域为12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．若函数的最小正周期为，则其图象关于直线对称B．若函数的最小正周期为，则其图象关于点对称C．若函数在区间上单调递增，则的最大值为2D．若函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是第II卷（非选择题）三、填空题13．如图所示，已知，点是点关于点的对称点，，和交于点，若，则实数的值为_______．14．已知点P在△ABC的边BC上，AP=PC=CA=2，△ABC的面积为，则sin∠PAB=_______.15．已知函数，且，则曲线在处的切线方程为______.16．在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 四、解答题17．已知函数.（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设锐角的内角，，若向量与向量共线，求的取值范围.18．在中，内角A，B，C所对的边长分别为，已知，，，，.(1)求，；(2)设D为BC边上的点，且，求试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 19．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求B；(2)若，，求c.试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 21．在锐角三角形中，角的对边分别为，且成等差数列（1）若，求（2）若为的最大内角，求的取值范围22．已知函数.（1）当时，求曲线上在点处的切线方程；（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.若___________，求实数m的取值范围.①在区间上是单调减函数；②在上存在减区间；③在区间上存在极小值.试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 参考答案1．B【分析】求出集合、，再利用交集的定义可求得集合.【详解】由题意得集合，，因此，.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2．B【分析】根据角终边上点的坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值．【详解】因为终边上点，所以，所以故选：B．3．C【分析】近似化简，结合对数运算求得正确答案.【详解】，令，两边同时取常用对数得，∴，∴，结合选项知与最接近的数为.故选:C4．B【分析】利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.【详解】设，则，，又为偶函数，∴，则对应导函数为，试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ∴，即所求的切线斜率为2.故选：B5．D【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.【详解】因为点C为的中点，，所以，所以，因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，所以的取值范围是,故选：D.6．B【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，，，则，解得，所以.故选：B7．B【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出，再由，利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】由,且,所以，试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以.故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.8．D【分析】由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.【详解】由题意，，，，则.故选：D.9．AC【分析】若可判断A；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B；求出的坐标，根据且与不共线求出的取值范围可判断C；取的中点，根据向量的线性运算可得可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：若满足，则实数不唯一，故选项A错误；对于B：两个非零向量，，若，则，所以，可得，，因为，所以，所以与共线且反向，故选项B正确；对于C：已知，，所以，若与的夹角为锐角，则，解得：，当时，，此时与的夹角为，不符合题意，所以，所以的取值范围是，故选项C不正确；对于D：在中，取的中点，由，得，故垂直平分，所以为等腰三角形，故选项D正确．故选：AC．10．ABD试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】由两边平方，将条件代入可得，再由可得，又，从而可对各个选项作出判断，得到答案.【详解】向量，由，可得即，解得，所以A正确.，所以又，所以，所以D正确,C不正确.,则，故B正确.故选：ABD11．ABC【分析】根据所给图象，求出函数的解析式，再逐一验证各选项判断作答.【详解】观察图象得：A=2，周期T，则，由得，而，则，所以有，显然A正确；，B正确；向右平移得是奇函数，C正确；时，，，，D错误.故选：ABC【点睛】思路点睛：由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ=0(或ωx0＋φ=π)，即可求出φ.12．ACD【分析】根据最小正周期可以计算出，便可求出对称轴和对称点，可判断A、B选项；根据正弦型函数的单调性可以推出的值，可判断C选项；根据零点情况可以求出的取值范围，可判断D选项.【详解】选项：的最小正周期为试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，故正确；B选项：的最小正周期为，故B错误；C选项：又函数在上单调递增，故C正确；D选项：又在有且仅有个零点，则，故D正确.故选：ACD13．【分析】设，可得，，又因为，即可求解．【详解】如图所示：设，由于，所以，由于点是点关于点的对称点，则为中点，所以，得所以由于，又因为试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 得．故答案为：【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．14．【分析】根据△ABC的面积为可求BC=5，进而在中可求,然后在△ABP中，由正弦定理即可求解.【详解】∵AC=PC=AP=2，∴△APC为等边三角形，由，得BC=5，则BP=5-2=3，作AD⊥BC交BC于D，在等边△APC中，，则BD=BP+PD=3+1=4，在中，，在△ABP中，由正弦定理得：∴故答案为:15．【分析】求导，利用求出，根据导数几何意义可求斜率，利用点斜式写出切线方程即可.试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【详解】∵，∴，解得，即，，则，∴，曲线在点处的切线方程为，即.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.16．或0【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 故答案为：0或.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．17．（1）最小值为，最小正周期为；（2）.【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用正弦函数的性质以及周期公式即可求出结果；（2）先求出角，进而求出的值，再根据锐角三角形求出角的范围，然后利用平面向量共线的坐标运算求出的关系式,化简整理，根据正弦函数的性质即可求出结果.【详解】（1）因为，当时，有最小值，最小值为；的最小正周期为;（2）因为，所以，即，又因为为锐角，所以，又因为向量与向量共线，所以试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 因为为锐角三角形，所以，解得，因此，所以，因此，故，则的取值范围为.18．(1)，(2)【分析】（1）由可得，结合正弦定理化边为弦，整理可得，即可求解；再结合余弦定理即可求解；（2）由余弦定理可得，由可得的长，进而可判断，即可求解.(1)因为，所以，即，因为，所以，即，又所以，因为，，，所以，则，即，因为，所以(2)由（1），因为，即，所以，即，因为，所以试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，所以.19．条件选择见解析；（1）；（2）.【解析】（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得，根据三角形内角性质得出且，即可求出角的值；选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出，即可求出角的值；选择条件③，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出，从而可求出角的值；（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出，，再根据三角形面积公式化简得出，由为锐角三角形，求出角的范围，从而得出的面积的取值范围.【详解】解：（1）选①，由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴；选②，∴，∴，试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴，则，∴；选③，得，∴，∴，∵，∴，∴，∴.（2）已知为锐角三角形，且，由正弦定理得：，∴，，∴，∵为锐角三角形，∴，∴，∴.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.20．(1)；(2)试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）由正弦定理化简条件，求得，从而求得角B.（2）将条件，代入余弦定理求得c.(1)因为，所以，即，化简得，所以，又因为，所以.(2)因为，所以，整理得，解得.21．（1）（2）【分析】（1）先计算出的角度，再根据正弦定理计算出的值，最后根据即可计算出的值；（2）根据条件将用的形式表示出来，将转化为关于的三角函数，再根据的范围即可计算出的取值范围.【详解】解：（1）成等差数列，所以，，（2），，令，试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，，.【点睛】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用，其中涉及到等差数列知识，属于综合型问题，难度较易.解三角形的问题中注意对隐含条件“”的使用.22．（1）；（2）若选①：；若选②：；若选③：.【分析】（1）求得和，进而可得切线方程；（2）若选①，则转化为在区间上恒成立，根据“三个二次”可得结果；若选②，则转化为在区间上有解，分离变量可得结果；若选③，求得的极小值点为，解不等式可得结果.【详解】（1）当时，，所以，点为切点，，函数在点处的切线方程为：，即；（2）∵，∴若选①：函数在区间上是单调减函数，则有：在区间上恒成立，即在上恒成立，∴，解得；若选②：函数在上存在减区间，则有在区间上有解，即得在区间上有解，此时令，显然在区间上单调递减，所以，故有；试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 若选③：函数在区间上存在极小值，则函数的极小值点应落在内.令，求得，，此时可得，在，上单调递增；在上单调递减；所以是函数的极小值点，即得，当时，不等式恒成立，当时，，解之可得，所以.试卷第20页，共14页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司