山东省青岛市2023届高三数学上学期期初调研试题（Word版含答案）

2022年高三年级期初调研检测数学试题2022.09一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则即可化简求解.【详解】由得，故选：B2.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解无理不等式确定集合，解指数不等式确定集合，然后由交集定义求解．【详解】，，所以．故选：C．3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】对展开化简可得，再对等式两边平方化简后结合二倍角公式可求出的值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以，故选：A4.在的展开式中，常数项为（）A.80B.C.160D.【答案】D【解析】【分析】根据二项式展开式的特征即可知中间项（第4项）为常数项.【详解】由于互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为，故选：D5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据中间值法结合函数的单调性即可比较大小【详解】因为，，,故，故选：C6.已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据圆台的侧面积计算公式可求母线长，进而可求圆台的高，根据球的性质，即可利用球心与底面圆心的连线垂直与底面，根据勾股定理即可求解.【详解】设圆台的高和母线分别为，球心到圆台上底面的距离为，根据圆台的侧面积公式可得，因此圆台高，当球心在圆台内部时，则，解得，故此时外接球半径为，当球心在圆台外部时，则，，解得不符合要求，舍去，故球半径为故选：B7.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横 式，以此类推.例如表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于30的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据5根算筹，分为四类情况：,逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率.【详解】根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为一共四类情况；第一类：，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；第二类：，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32，36，72，76；第三类：，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；第四类：，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，综上可知：所有的两位数有:14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，则大于30的有32，36，41，63，67，72，76，81共计8个，故概率为，故选:C8.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于拋物线的轴.如图所示，从拋物线的焦点向轴上方发出的两条光线 分别经抛物线上的两点反射，已知两条入射光线与轴所成角均为，且，则两条反射光线之间的距离为（）A.B.4C.2D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，则可求出直线的方程，分别与抛物线方程联立表示出的坐标，由结合抛物线的定义可求出，从而可求出两点纵坐标的差，即可得两条反射光线之间的距离.【详解】由题意得，因为，所以直线的斜率为，所以直线为，由，得，解得或， 所以，同理直线方程为，由，得，解得或，所以，因为，所以，所以，解得，所以两条反射光线之间的距离为，故选：D二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线，则（）A.直线过定点B.当时，C.当时，D.当时，两直线之间的距离为1【答案】ACD【解析】【分析】根据直线过定点的求法，可判断A,根据直线的一般式在垂直平行满足的条件可判断 BC,根据两平行线间距离公式即可求解D.【详解】对A;变形为令，则，因此直线过定点，A正确；对于B;当时，，故两直线不垂直，故B错误；对于C;当时，，故两直线平行，C正确；对于D;当时,则满足，此时则两直线距离为，故D正确；故选：ACD10.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.在上单调递增C.的图象关于点中心对称D.上有4个零点【答案】AC【解析】【分析】根据周期的计算公式可判断A，根据整体法即可验证是否单调，判断B,计算，由此可判断C,将函数零点转化为方程的根，即可求解D. 【详解】对于A;周期,故A正确；对于B;当时，，故在上不单调递增，B错误；对于C;，故是的一个对称中心，故C正确；对于D;令,解得，故当时，取分别得故在上有5个零点，D错误,故选：AC11.在四棱锥中，底面为菱形，平面，为线段的中点，为线段上的动点，则（）A.平面平面B.三棱锥的体积为C.与平面所成角的最小值为D.与所成角的余弦值为【答案】BCD【解析】【分析】根据特殊位置的点,即可排除A,根据等体积法求三棱锥的体积可求解B，根据线面角的几何法即可找到角，然后在三角形中求解最小值即可判断C，根据平移，用几何法找线线角，即可用三角形的余弦定理求解D.【详解】对于D;取中点,连接, 则,故或其补角为与所成角，由于为边长为2的等边三角形，则,因此故,在中，由余弦定理可得,故与所成角的余弦值为，D正确；对于A;由于为线段上的动点，若移动到点时，此时考虑平面与平面是否垂直，若两平面垂直，则其交线为,由于,平面，则平面，平面，故,这显然与D选项矛盾，故平面与平面不垂直，A错误，对于B;取中点为，则所以平面平面,故平面,因此点到平面的距离与点到平面的距离相等，故,因此，故B正确；对于C;取中点为,连接,则,所以平面,故为与平面所成角，在直角三角形中，,故当长度最大时，最小，故当运动到与重合时，最大值为，此时最小为，故C正确；故选：BCD 12.已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由是偶函数得出是奇函数，然后在已知式中对自变量赋值求解．【详解】是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，由，，得，即，所以是周期函数，且周期为4，，在，中令得，，A正确；没法求得的值，B错；令得，，，则，无法求得，同理令得，，，因此，相加得，只有在时，有，但不一定为0，因此C错；在中令得，，在中令 得，，两式相加得，即，D正确；故选：AD．三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知为中点，则___________.【答案】【解析】【分析】由中点坐标公式得点坐标，再求得向量的坐标后由数量积的坐标表示计算．【详解】是中点，则点坐标为，，，．故答案为：．14.某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________.【答案】300【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可成绩在130分以上的概率，进而可求人数.【详解】由正态分布曲线的对称轴为，以及可得，因此,故130分以上的人数为.故答案为：30015.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】求出导函数，问题转化为有两个不等实根，分离参数后转化为求新函数的极值、单调性、变化趋势，从而得参数范围． 【详解】，由题意有两个不等的实根，即有两个不等的实根，设，是，时，，递减，时，，递增，所以，又时，，且时，，，所以，方程有两个不等的实根，且都是变号的根，即有两个极值点．故答案为：．16.已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】设，，由得，求出点坐标，代入渐近线方程得用表示的式子，求得其范围后可得离心率范围．【详解】设，，，，则，，则，，，则，，点在渐近线上，所以，， 由得，所以，又，所以，所以．故答案为：．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角，由和差角公式即可化简求值，（2）根据锐角确定的范围，由正弦定理化边为角，结合三角函数即可求解.【小问1详解】因为,所以由正弦定理得：,即,因为，所以，因为，故，所以，进而,【小问2详解】由（1）知,因为为锐角三角形，所以且, 所以,由正弦定理得：,因为，所以,所以.18.如图，在直三棱柱中，.（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，根据正方形对角线互相垂直得线线垂直，进而根据线面垂直的判定定理即可证明平面,进而可证，（2）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算可求平面法向量，根据向量夹角求二面角大小.【小问1详解】证明：连接， 由三棱柱为直三棱柱可得平面，平面,所以因为,平面,所以平面,因为平面,所以.因为，所以四边形是正方形，所以，又因为，平面,所以平面,因为平面,所以【小问2详解】由（1）得平面所以点到平面的距离为.所以解得.因为两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则， 设平面的法向量为,因为,则,令，则,设平面的法向量为,因为,则,令，则,设二面角的平面角为，根据几何体特征可知为锐角，所以,所以二面角的大小为.19.记关于的不等式的整数解的个数为，数列的前项和为，满足.（1）求数列通项公式；（2）设，若对任意，都有成立，试求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）解不等式可确定，由及可求得；（2）由（1）求得，单调性转化为恒成立，然后按的奇偶性分类讨论得参数范围．【小问1详解】由不等式可得：，，，当时，，当时，，因为适合上式，；【小问2详解】由（1）可得：，，，，当为奇数时，，由于随着的增大而增大，当时，的最小值为，， 当为偶数时，，由于随着的增大而减小，当时，的最大值为，，综上可知：．20.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080（1）根据小概率值的独立性检验，分析性别因素与学生体育锻炼的经常性有无关联；（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，学校设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练.已知甲控制球时，传给乙的概率为，传给丙的概率为；乙控制球时，传给甲和丙的概率均为；丙控制球时，传给甲的概率为，传给乙的概率为.若先由甲控制球，经过3次传球后，乙队员控制球的次数为，求的分布列与期望.附： 【答案】（1）认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于（2）（3）分布列答案见解析，数学期望：【解析】【分析】（1）根据卡方的计算，与临界值比较，即可根据独立性检验的思想求解，（2）根据条件概率计算公式即可求解，（3）由离散型随机变量取值对应的事件，求出对应的概率，即可求解.【小问1详解】零假设为：性别因素与学生体育锻炼的经常性无关联根据列联表中的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于.【小问2详解】用表示事件“选到经常参加体育锻炼的学生”，B表示事件“选到男生”，则.【小问3详解】由题知的所有可能取值为，；所以的分布列为:012 21.在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】（1）根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心的轨迹满足椭圆的定义，进而可求其方程，（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据点坐标可得方程，进而代入韦达定理即可求出坐标，根据弦长公式可求长度，进而得长，根据垂直，即可表示四边形的面积，根据不等式即可求解最值.【小问1详解】设动圆的半径为，圆心的坐标为由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.动圆与圆内切，且与圆外切， 动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，其中从而轨迹的方程为：【小问2详解】（i）设直线的方程为，则由可得：直线的方程为，令可得点的横坐标为：为一个定点，其坐标为（ii）根据（i）可进一步求得：. ，则，四边形面积（法一）等号当且仅当时取，即时，（法二）令，则当，即时，【点睛】本题考查了椭圆的方程，以及直线与椭圆的位置关系，综合性较强.利用几何法求轨迹方程时，要多注意图形位置间体现的等量关系，可通过先判断轨迹，再求其方程.直线与椭圆相交问题，联立方程是常规必备步骤，韦达定理得弦长，求面积或者长度最值时，往往需要先将其表达出来，再利用不等式或者函数的知识进行求解.22.已知函数（1）求的最小值；（2）函数的图象是一条连续不断的曲线，记该曲线与轴围成图形的面积为，证明：；（3）若对于任意恒成立，证明：. 【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导函数的正负确定单调性，进而可求最值，（2）通过单调性和最值可知当时，，进而可证明围成的面积在梯形内部，进而可求解，（3）对式子进行变形为，构造函数利用单调性将其转化为只需要即可求解.【小问1详解】当时，由题知：当时，在上单调递减当时，在上单调递增.所以当，又因为所以最小值为.【小问2详解】因为，由（1）知：当时，.因为，所以在点处的切线方程为令，则所以在上单调递减，所以.所以曲线在轴､轴､和之间设原点为轴与交点为和的交点为，点为， 所以曲线在梯形内部所以.【小问3详解】因为，所以所以①当时，因为，所以，所以②当时，令则在时恒成立所以在时单调递增由题知：所以.所以由（1）知：所以【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求解不含参的最值问题比较常规，处理起来也比较容易，对于含参问题，利用导数求解时，往往需要合理变形，然后根据式子特征构造函数，利用导数求解构造的函数的单调性.