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江苏省连云港市灌南高级中学2023届高三数学上学期第一次月考试题(Word版含解析)
江苏省连云港市灌南高级中学2023届高三数学上学期第一次月考试题(Word版含解析)
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灌南高级中学2021-2022高三年级第一学期第一次月考数学试卷一、单选题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(每题5分,8题共40分)1.若集合,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出与中不等式的解集确定出与,再求出与的并集.【详解】集合,,则,故选:D2.已知角的终边经过点,则函数的值等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用三角函数的定义求出,从而可求出的值【详解】解:因为角的终边经过点,所以,所以故选:A3.函数(且)的图象可能为() A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】因为,故函数是奇函数,所以排除A,B;取,则,故选D.考点:1.函数的基本性质;2.函数的图象.4.设函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用的导函数,结合在区间上的单调性列不等式组求得的取值范围.【详解】由,则,当时,,则单调递减; 当时,,则单调递增,又函数在区间上单调递减,所以,解得,故选:A5.已知函数,则函数的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式以及辅助角公式化简,再根据即可得出答案.【详解】由题意得在由.故选:D6.已知函数,若为锐角且,则的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由得,结合为锐角可得,然后利用二倍角公式可得.【详解】因为,所以, 因为为锐角,且,所以,所以,.故选:D.7.已知定义在上的偶函数,若正实数、满足,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由偶函数定义可构造方程求得,由此得到解析式;由已知等式可得到,根据,配凑出基本不等式的形式,利用基本不等式可求得结果.【详解】为上的偶函数,,即,即,整理得:,,,,即;(当且仅当,即时取等号);的最小值为. 故选:B.8.已知定义在[,]上的函数满足,且当x[,1]时,,若方程有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是()A.(,]B.(,]C.(,]D.(,]【答案】B【解析】【分析】由题设,求分段函数的解析式并画出图像,将方程有三个不同实根转化为和有三个不同的交点问题,由数形结合思想结合导数研究函数的交点情况,进而求参数的范围.【详解】∵当时,,∴当时,,综上,,当时,,则在上单调递增,当时,,则在上单调递减,∵有三个不同的实数根,∴的图像和直线有三个不同的交点,作的大致图像如图所示, 当直线和的图像相切时,设切点为,∴,可得,,代入,可得,当过点时,,由图知,实数的取值范围为.故选:B.【点睛】关键点点睛:将方程有三个不同实数根转化为函数图象有三个不同交点问题,应用数形结合思想及导数研究函数图象的交点情况,求参数.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9.已知命题;命题.若是的充分不必要条件,则实数的值是()A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】先将命题化为最简形式,再代入选项中的值判断即可.【详解】对于:;对于. 对于A,当时,,是的既不充分也不必要条件,故A错误;对于B,当时,,是的既不充分也不必要条件,故B错误;对于C,当时,,是的充分不必要条件,故C正确;对于D,当时,,是的充分不必要条件,故D正确.故选:CD10.若定义域为R的函数在上为减函数,且函数为偶函数,则()A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据条件,分析函数的单调性和对称性,再根据的性质逐项分析即可.【详解】因为是偶函数,所以的图像关于直线对称,即当时,单调递增,当时,单调递减,在处取得最大值;对于A,,错误;对于B,,正确;对于C,,正确;对于D,,正确;故选:BCD.11.函数在一个周期内的图象如图所示,则(). A.该函数的解析式为B.该函数图象的对称中心为,C.该函数的单调递增区间是,D.把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变,可得到该函数图象【答案】ACD【解析】【分析】根据图象可得函数的解析式,然后根据三角函数的性质及图象变换规律逐项分析即得.【详解】由题图可知,,周期,所以,则,因为当时,,即,所以,,即,,又,故,从而,故A正确;令,,得,,故B错误; 令,,得,,故C正确;函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变,可得到,故D正确.故选:ACD.12.已知函数,则下列结论正确的是()A.函数在上单调递减B.函数在上有极小值C.方程在上只有一个实根D.方程在上有两个实根【答案】ABD【解析】【分析】求得函数的导数,求得函数的单调性,可判定A,由函数的单调性和极值的概念,可判定B,利用函数的单调性,极值、端点的函数值,可判定C;将非常的解转化为两个函数图象交点的个数,结合图象,可判定D,即可得到答案.【详解】由题意,函数,可得,当,即,所以,所以,解得,当时,;当时,,当,即,所以, 所以,解得,当时,;当时,,所以当时,单调递减,所以A正确;又因为当时,,当时,,所以在出取得极小值,所以B正确;因为,所以在上不只有一个实数根,所以C不正确;因为方程,即,即,所以,正切函数在为单调递增函数,又由函数,可得,当和时,,当时,,且当时,,作出两函数大致图象,如图所示,由图象可得,当,函数与的图象有两个交点,所以D正确.故选:ABD. 【点睛】利用导数研究函数的单调性(区间)的方法:(1)当导函数不等式可解时,解不等式或,求出函数的单调区间;(2)当方程可解时,解出方程的实根,依据实根把函数的定义域划分为几个区间,确定各区间的符号,从而确定函数的单调区间;(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解,根据结构特征,利用图像与性质确定的符号,从而确定单调区间.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数的定义域为____.【答案】【解析】【详解】由题意得,解得定义域为.14.曲线在处的切线的倾斜角为,则______.【答案】【解析】 【分析】由导数几何意义求得,再结合同角三角函数基本关系即可求解【详解】根据已知条件可知:,因为曲线在处的切线的倾斜角为,所以,因为故答案为:15.若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________.【答案】4【解析】【分析】由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为:4【点睛】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的16.已知函数.①当时,若函数有且只有一个极值点,则实数的取值范围是______;②若函数的最大值为1,则______.【答案】①.②.【解析】【分析】①首先求出当时的极值点,根据题意即可得到的取值范围.②分别讨论当,和时,求出函数的最大值,比较即可求出的值. 【详解】①当时,.,令,解得.因为函数在有且只有一个极值点,所以.②当时,,此时,舍去.当时,,.,..所以,因为,所以.当时,,.,令,解得.,,为增函数,,,为减函数..当时,,所以,(1)当时,;当时,即,,解得(舍去).当时,即,,解得(舍去);(2)当时,,只有且,这样的不存在.综上所述:.故答案为:①;②.【点睛】本题主要考查利用导数求含参函数的极值点和最值,分类讨论是解题的关键,属于 难题.四、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设函数,(1)求;(2)求函数所有零点之和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据三角恒等变化公式化简可得,再求解即可;(2)根据零点的表达式,求出在上的所有零点再求和即可.【小问1详解】,【小问2详解】令,则, 或,,即或,,,或或或,,函数所有零点之和18.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(I)求角B的大小;(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围.【答案】(I);(II)【解析】【分析】(I)方法二:首先利用正弦定理边化角,然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小;(II)方法二:结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式,然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围,最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.【详解】(I)[方法一]:余弦定理由,得,即.结合余弦定, ∴,即,即,即,即,∵为锐角三角形,∴,∴,所以,又B为的一个内角,故.[方法二]【最优解】:正弦定理边化角由,结合正弦定理可得:为锐角三角形,故.(II)[方法一]:余弦定理基本不等式因为,并利用余弦定理整理得,即.结合,得.由临界状态(不妨取)可知.而为锐角三角形,所以.由余弦定理得, ,代入化简得故的取值范围是.[方法二]【最优解】:恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有:.由可得:,,则,.即的取值范围是.【整体点评】(I)的方法一,根据已知条件,利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得,运算能力要求较高;方法二则利用正弦定理边化角,运算简洁,是常用的方法,确定为最优解;(II)的三种方法中,方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简,运算较为麻烦,方法二直接使用三角恒等变形,简洁明快,确定为最优解.19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)求的值;(2)在边BC上取一点D,使得,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)方法一:利用余弦定理求得,利用正弦定理求得.(2)方法一:根据的值,求得的值,由(1)求得的值,从而求得的值,进而求得的值.【详解】(1)[方法一]:正余弦定理综合法由余弦定理得,所以.由正弦定理得.[方法二]【最优解】:几何法过点A作,垂足为E.在中,由,可得,又,所以.在中,,因此.(2)[方法一]:两角和的正弦公式法由于,,所以.由于,所以,所以.所以 .由于,所以.所以.[方法二]【最优解】:几何法+两角差的正切公式法在(1)的方法二的图中,由,可得,从而.又由(1)可得,所以.[方法三]:几何法+正弦定理法在(1)的方法二中可得.在中,,所以.在中,由正弦定理可得,由此可得.[方法四]:构造直角三角形法如图,作,垂足为E,作,垂足为点G. 在(1)的方法二中可得.由,可得.在中,.由(1)知,所以在中,,从而.在中,.所以.【整体点评】(1)方法一:使用余弦定理求得,然后使用正弦定理求得;方法二:抓住45°角的特点,作出辅助线,利用几何方法简单计算即得答案,运算尤其简洁,为最优解;(2)方法一:使用两角和的正弦公式求得的正弦值,进而求解;方法二:适当作出辅助线,利用两角差的正切公式求解,运算更为简洁,为最优解;方法三:在几何法的基础上,使用正弦定理求得的正弦值,进而得解;方法四:更多的使用几何的思维方式,直接作出含有的直角三角形,进而求解,也是很优美的方法.20.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,AD=CD,∠ABC=120°. (1)求证:平面PAC⊥平面PBD;(2)若点M为PB的中点,点N为线段PC上一动点,求直线MN与平面PAC所成角的正弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)设的中点为O,先证明,由条件可得,从而可证明结论.(2)由(1)可得,以所在的直线分别建立x轴和y轴,过O点作平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可.【小问1详解】设的中点为O,因为,所以,因为,所以,所以B,O,D三点共线,所以,因为平面平面,所以,因为平面平面,所以平面,因为平面,所以平面平面.【小问2详解】由(1)可得,以所在的直线分别建立x轴和y轴,过O点作平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系,则,因为M为的中点,所以, 设,所以,所以,由(1)知平面,所以平面的一个法向量为,设直线与平面所成角为,则,由的对称轴为,当时,当时,即当时,,所以所以,即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为21.为了给学生提供优雅的学习环境,某学校决定在夹角为30°的两条道路、之间建造一个半椭圆形状的小花园,如图所示,百米,O为AB的中点,OD为椭圆的长半轴,在半椭圆形区域内再建造一个三角形区域OMN,作为生物课学习植物的基地.其中M,N在椭圆上,且MN的倾斜角为45°,交OD于G. (1)若百米,为了不破坏道路EF,求椭圆长半轴长的最大值;(2)若椭圆的离心率为,当线段OG长为何值时,生物学习基地的面积最大?【答案】(1)(2)线段长为百米【解析】【分析】(1)建立平面直角坐标系,利用直线与椭圆相切去求椭圆长半轴长的最大值;(2)利用设而不求的方法先求得面积的表达式,再对其求最大值即可解决.【小问1详解】以点为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,设椭圆方程为,因为,则,又、夹角为30°,所以直线的方程为.又因为,则,则椭圆方程为,为了不破坏道路,则直线与椭圆至多只有一个交点,联立方程组,得, 由于直线与半椭圆至多只有一个交点,则,又,得.当时半椭圆形小花园与道路直线相切,所以椭圆长半轴长的最大值为.【小问2详解】设椭圆焦距为,由椭圆的离心率,,,解得,所以,椭圆的方程为.设,又倾斜角为45°,且交于,所以直线的方程为,设,,由得,则,,则,当且仅当时,的面积最大.所以当线段长为百米,生物学习基地的面积最大.22.已知,R. (1)讨论函数的单调性;(2)若对任意的,恒成立,求整数a的最小值.【答案】(1)分类讨论见解析(2)2【解析】【分析】(1)求导,分,两种情况讨论导函数正负,即得解;(2)转化原不等式为在区间内恒成立,令,求导分析单调性,即得解小问1详解】由题意得的定义域为,,①时,,在内单调递减,②时,令得或(舍)当,单调递减当,,单调递增.【小问2详解】由题意得,整理得,因为,所以原命题等价于在区间内恒成立,令,则,令,易知在区间内单调递增, 又,,故存在唯一的,使得,当时,,单调递增;当时,,单调递减;故当时,函数有极大值,也即为最大值,,故,又,故,又a为整数,故a的最小整数值为
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高中 - 数学
发布时间:2023-02-03 11:47:03
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