湖北省高中名校联盟2023届高三数学上学期第一次联合测评试题（Word版含答案）

湖北省高中名校联盟2023届高三第一次联合测评数学试卷第I卷(选择题)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则A.B.C.D.2.设,则A.B.C.1D.23.平面向量满足,则的最小值为A.1B.C.2D.34.二项式的展开式中含有常数项,则的最小值等于A.2B.3C.4D.55.已知函数是偶函数,则的值可能是A.B.C.D.6.如图,是自行车前轮外边沿上的一点,前轮半径为0.25m,若单车向前直行6.80m时(车轮向前顺时针滚动，无滑动),下列描述正确的是A.点在前轮的左下位置,距离地面约为0.125mB.点在前轮的右下位置,距离地面约为0.125mC.点在前轮的左上位置,距离地面约为0.375mD.点在前轮的右上位置,距离地面约为0.375m7.对于正方体6个面的中心,甲,乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率等于 A.B.C.D.8.已知函数的定义域为,若对于任意的,都存在,使得,则的取值范围是A.B.C.D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知分别是三棱锥的棱上的点(不是端点),则下列说法正确的是A.若直线相交,则交点一定在直线上B.若直线异面,则直线中至少有一条与直线相交C.若直线异面,则直线中至少有一条与直线平行D.若直线平行,则直线与直线平行10.已知,圆,则A.存在3个不同的,使得圆与轴或轴相切B.存在2个不同的,使得圆在轴和轴上截得的线段相等C.存在2个不同的,使得圆过坐标原点D.存在唯一的,使得圆的面积被直线平分11.已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上,圆台的下底面过球心,上底面半径为,设圆台的体积为,则下列选项中说法正确的是（）A.当时,B.存在最大值C.当在区间内变化时,逐渐淢小D.当在区间内变化时,先增大后淢小 12.已知抛物线的焦点为,准线为,过点且斜率大于0的直线交抛物线于两点(其中在的上方),为坐标原点,过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线,点,则A.若,则直线的斜率为B.C.若是线段的三等分点,则直线的斜率为D.若不是线段的三等分点,则一定有第II卷(非选择题)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若直线与曲线相切,则的值为_____.14.已知双曲线的左右焦点分别为,过作圆的切线切圆于点并与双曲线的右支交于点,若,则双曲线的离心率为_____.15.若已知30个数的平均数为6,方差为9;现从原30个数中剔除这10个数,且剔除的这10个数的平均数为8,方差为5,则剩余的20个数的方差为_____.16.设,则的大小关系是_____.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小題满分10分)已知数列满足.(I)求数列的通项公式; (II)设,求数列的前项和为.18.(本小题满分12分)在中,为上一点,.(I)若为的中点,,求的面积;(II)若,求的面积的最小值.19.(本小題满分12分)有9个外观相同的同规格砝码,其中1个由于生产瑕疵导致质量略有增加,小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码，设计了如下两种方案：方案一:每次从待称量的砝码中随机选2个,按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上,若天平平衡，则选出2个砝码是没有瑕疵的；否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，按此方法，直到找出有瑕疵的砝码为止.方案二:从待称量的砝码中随机选8个,按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上,若天平平衡,则未被选出的那个砝码是有瑕疵；否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，每次再将该侧砝码按个数平分，分别放在天平的左、右托盘上,,直到找出有瑕疵的砝码为止.(I)记方案一的称量次数为随机变量,求的概率分布;(II)上述两种方案中,小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小?并说明理由.20.(本小题满分12分)如图,四棱锥的底面是菱形,其对角线都与平面垂直,.(I)求二面角的大小;(II)求三棱锥与四棱锥公共部分的体积.21.(本小题满分12分)已知椭圆,过点而不过点的动直线与椭圆交于两点.(I)求;(II)若直线的斜率之和为0,求的面积.22.(本小题满分12分) 已知函数,其中是自然对数的底数.(I)设的极小值为,求的最大值;(II)若存在使得,且,求的取值范围. 湖北省高中名校联盟2023届高三第一次联合测评数学试题参考答案一、选择题：12345678BADBDCAD二、多项选择题：9.ABD10.ACD11.ABD12.ABC三、填空题：13.ABD14.15.816.四、解答题17.(本小题满分10分)(1)当时,,当时,①②由①-②得,即.当时也成立,所以数列的通项公式为(2)因为,所以,所以.18.(本小题满分12分)(1)因为为的中点,所以,.记角的对边分别为, 因为.所以,则又由余弦定理得两式联立解得:,所以.(2),即即(当且仅当时取得最小值)所以9.(本小题满分12分)(1)由题知:,分布列为:1234 (2)由(1)知:,设方案二的称量次数为随机变量为,则所以小明应选择方案一可使称量次数的期望较小.20.(本小题满分12分)试题解析:(1)如图(1)连结交于菱形的中心,过作为垂足.连结.由,得平面,故.于是平面,所以为二面角的平面角.由,得.由,得即二面角的大小为(2)连,设直线与平面相交于点,则三棱锥与四棱锥的公共部分为三棱锥.即为直线与的交点,作平面,因为平面平面,从而由平面几何知识,得.又因为故三棱锥的体积21.(本小题满分12分)(1)若直线斜率存在,设其方程为. 因为点在直线上,所以.联立直线和椭圆的方程消去得.设.则,,注意到,.则$$显然三点互不相同.所以.若直线斜率不存在,则A、B两点的坐标为容易验证也成立.因此.(2)由(1)知.所以.又因为,则不妨设 则直线方程为:联立解得点又则直线方程为:,即点到直线的距离为联立,解得弦长22.(本小题满分12分)解:因为在单调递增,又,所以存在唯一,使,即,当时,,当时,,所以在区间上单调递减,在上单调递增,所以的极小值为,所以,令,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,即的最大值为2; (2)解:不妨设,所以关于的方程有正实数解,所以,即有正实数解,设,则,所以上单调递增,所以,(1)当时,,所以单调递增,所以,不合题意;(2)当时,存在,使得,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以存在,使得,符合题意.综上的取值范围为