贵州省贵阳市2023届高三数学（理）上学期8月摸底考试题（Word版含解析）

贵阳市2023届高三年级摸底考试试卷理科数学2022年8月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、报名号、座位号用钢笔填写在答题卡相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再根据交集的定义可求.【详解】，故即中元素的个数为3，故选：B.2.复数满足，则复数的虚部为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由复数除法运算可求得复数，根据虚部定义可得结果. 【详解】，的虚部为.故选：D.3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由三视图可还原几何体为一个正方体挖去一个圆锥，根据柱体和锥体的体积公式可求得结果.【详解】由三视图可知几何体是一个棱长为的正方体挖去一个底面半径为，高为的圆锥，如图所示，几何体体积.故选：A.4.若实数，满足，则的最大值为（） A.3B.2C.1D.0【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：由实数，满足不等式组，作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，此时取最大值．由，解答，即．故选：C．5.已知命题：，，则命题的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，判断即可.【详解】解：命题：，为存在量词命题，其否定为，；故选：D6.“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D在同一水平面上的A，B两点，在A点和B点测得C点的仰角分别为45°和30°，测得米，，则云楼的高度CD为（）A.20米B.25米C.米D.米【答案】B【解析】【分析】设，由锐角三角函数得到，，再在中利用余弦定理求出，即可得解.【详解】解：依题意，，设，在、中，，，所以，，在中由余弦定理，即，解得或（舍去），所以云楼的高度为米； 故选：B7.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域和奇偶性排除部分选项，再由特殊值判断.【详解】解：因为的定义域为，且，所以是奇函数，故排除BD，又，则，故排除A，故选：C8.已知数列的前项和为，，，则 （）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据作差可得，再由，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，再根据等比数列求和公式计算可得.【详解】解：因为，，当时，当时，所以，即，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.故选：A9.贵安新区是中国第八个国家级新区，位于贵州省贵阳市和安顺市结合部，是南方数据中心核心区、全国大数据应用与创新示范区，同时也是内陆开放型经济新高地和生态文明示范区．“贵安”拼音的大写形式为“GUIAN”，现从这5个字母中任选2个，则取到的2个字母中恰有1个字母为轴对称图形的概率为（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：依题意从中任取个字母所有可能结果为、、、、、、、、、共个基本事件，其中满足恰有个字母为轴对称图形的有、、、、、共个基本事件，所以取到的个字母中恰有个字母为轴对称图形的概率；故选：B10若，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用商数关系式和二倍角公式化简题设中的三角函数式可得，再根据二倍角的余弦公式可求的值.【详解】因为，故，故，因为，故，所以，所以即，故， 故选：D.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且异于长轴端点．点在所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由向量数量积关系可知在以为直径的圆上；由椭圆定义和中位线性质知，结合可求得当时，的值，即为所求最大值.【详解】，，，，在以为直径的圆上，圆心分别为的中点，如图所示，由椭圆方程知：，，，， ，，当四点共线时，取得最大值.故选：A.12.设函数的定义域为，且是奇函数，当时，；当时，．当变化时，方程的所有根从小到大记为，则取值的集合为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将方程的根转化为与直线的交点，并可知与均关于对称，作出的图像，通过数形结合的方式可确定不同取值时交点的个数，结合对称性可求得结果.【详解】为奇函数，图像关于点对称，由得：，则方程的根即为与直线的交点，作出图像如图所示， ①当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，与均关于对称，；②当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，与均关于对称，；③当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，与均关于对称，；④当时，如图中所示时，与直线有个交点 ，与均关于对称，；⑤当，即时，如图中和所示时，与直线有且仅有一个交点，.综上所述：取值的集合为.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数对称性、函数图像求解方程根的个数问题；解题关键是能够将方程根的个数问题转化为两个函数图像的交点个数问题，进而通过数形结合的方式确定交点个数.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23、24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.二项展开式中项的系数是______．【答案】【解析】【分析】由二项式定理可得二项展开式通项公式，令即可求得结果.【详解】展开式的通项公式为：，当时，的系数为.故答案为：.14.已知平面向量，，若，则________．【答案】【解析】【分析】根据求出的值，再根据模长的坐标公式求解即可.【详解】因为，所以. 所以，所以故答案为：15.自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________．【答案】【解析】【分析】根据正方体的性质及球的定义可求石凳所对应几何体的外接球的半径，从而可求其表面积.【详解】设正方体的中心为，为棱的中点，连接，则为矩形的对角线的交点， 则，同理，到其余各棱的中点的距离也为，故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为，故答案为：16.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积暅相等，则它们的体积相等．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为______．【答案】【解析】【分析】利用点到直线距离公式可知；联立和渐近线、双曲线方程可得交点横坐标，由此可表示出旋转后所得几何体的体积，从而构造出关于的齐次方程，进而解得离心率.【详解】由题意知：渐近线方程为，右焦点为，，由得：；由得：，阴影部分绕轴旋转一周所得几何体的体积 ，即，，即，，解得：，.故答案为：.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.三、解答题：第17题至21题每题12分，第22、23、24题为选考题，各10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若，________，求△ABC的周长．在①；②△ABC的面积为这两个条件中任选一个，补充在横线上．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，从而可求B的大小.（2）若选①，利用正弦定理可求，若选②，利用面积公式同样可得，结合余弦定理可求，从而可求周长.【小问1详解】由正弦定理可得，而为三角形内角，故，故即. 而为三角形内角，故.【小问2详解】若选①，因为，故外接圆直径即.而，故，而，故即，故三角形周长为.若选②，因为三角形面积为，故即.而，故即，故三角形的周长为.18.年月日—月日北京冬奥会如期举行，各国媒体争相报道运动会盛况，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看冬奥新闻．某机构将每天关注冬奥时间在小时以上的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，通过调查并从参与调查的人群中随机抽取了人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：非冬奥迷冬奥迷合计岁及以下岁以上合计（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关？（2）现从抽取的岁及以下的人中，按“非冬奥迷”与“冬奥迷”这两种类型进行分层抽样 抽取人，然后，再从这人中随机选出人，其中“冬奥迷”的人数为，求的分布列及数学期望．参考公式：，其中．参考数据：【答案】（1）能在犯错误的概率不超过的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关（2）分布列见解析，数学期望【解析】【分析】（1）由列联表计算可得，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可确定“非冬奥迷”与“冬奥迷”应抽取的人数，由此可确定所有可能的取值，利用超几何概型概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得的分布列；根据数学期望公式计算可得期望.【小问1详解】由列联表可得：，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关.【小问2详解】由题意知：“非冬奥迷”应抽取人；“冬奥迷”应抽取人；则所有可能的取值为，；；；的分布列为： 则数学期望.19.如图，在直三棱柱中，，，，分别是的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由等腰三角形中位线性质和线面垂直性质可得，，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直性质可得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】三棱柱为直三棱柱，平面，，为中点，，平面，平面，，平面，，平面， 又平面，.【小问2详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面法向量，，令，解得：，，；设平面的法向量，，令，解得：，，；，平面平面，即平面与平面的夹角为.20.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l与抛物线C相交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C 的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）设抛物线C的方程为，根据题意得到焦点坐标，即可求得抛物线C的方程；（2）设､，联立方程组得到，求得，化简抛物线方程，结合导数的几何意义求得点和点处的切线方程，联立方程组求得点的坐标和到直线的距离，得出的面积，即可求解最小值.【小问1详解】由题意，设抛物线C的方程为，因为直线经过，即抛物线C的焦点，所以，解得，所以抛物线C的方程为.【小问2详解】设､，联立方程组，整理得，因为，且，，，所以，由，可得，则，所以抛物线经过点的切线方程是， 将代入上式整理得，同理可得抛物线C经过点B的切线方程为，联立方程组，解得，所以，所以到直线的距离，所以的面积，因为，所以，即当时，，所以面积的最小值为.【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，同时也考查了导数的几何意义与抛物线中的面积问题，需要根据题意设切点，求得交点的坐标，再根据韦达定理表达出面积的解析式，进而求得最值.属于难题.21.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若，设是的两个极值点，求证；．【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，由在恒成立即可得到单调区间；（2）求导后，由极值点定义可得，；将化为 ；令，利用导数可求得，即；设，，代入，结合韦达定理的结论可得，由此可推导得到结论.【小问1详解】当时，，则的定义域为，；的单调递减区间为，无单调递增区间.【小问2详解】由题意得：，是的两个极值点，，；，；令，则，在上单调递增，，即； 设，，，即，，，即.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的单调区间、不等式证明的问题；本题证明不等式的关键是能够构造函数，利用导数得到，从而代入求得.请考生在第22、23、24题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．选修4—4：极坐标与参数方程22.在直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C交于两点，点，求的值.【答案】（1）：，：；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程､极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）联立方程，利用韦达定理求出结果.【详解】（1）直线l的参数方程是(t为参数)，转换为普通方程为.曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；（2）把直线l的参数方程是(t为参数)，代入，得到，所以，所以.选修4—5：不等式选讲23.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将函数改写成分段函数，利用零点分段法分类讨论，分别计算可得；（2）利用绝对值三角不等式得到，即可得到不等式，解得即可.【小问1详解】 解：当时，由，则或或，解得或或，综上可得不等式的解集为.小问2详解】解：因为，当且仅当时取等号，又恒成立，所以恒成立，解得，即.（还未学过选修4—4、4—5的同学可选做此题）24.已知等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，数列的前项和，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由等差数列通项公式可求得；（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，由此可得结论.【小问1详解】设等差数列的公差为， 由，得：，解得：，.【小问2详解】由（1）得：，.