广东省东莞市东华高级中学2023届高三数学上学期模拟考试试题（Word版含答案）

东华高级中学2023届高三年级上学期模拟考试数学本试卷共22题，满分150分,考试用时120分钟.一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共40分）1．已知集合，，则A．B．C．D．2．若复数z满足，则A．B．C．D．23．已知，命题P：，，则A．P是假命题，B．P是假命题，C．P是真命题，D．P是真命题，4．在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是A．B．C．D．5．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是，F为载波频率，单位是，L为传输损耗（亦称衰减）单位为．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了，则载波频率变为原来约（参考数据：）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍 6．已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则A．0B．1C．2D．37．已知函数，则函数的图象是A．B．C．D．8．已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是A．B．C．D．二、多项选择题（全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分，共20分）9．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是A．B．C．D．10．若函数在区间上单调递增，则下列实数可以作为的值的是A．B．C．D．11．已知，，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．12．对于函数，下列选项正确的是 A．函数的极小值点为，极大值点为B．函数的单调递减区间为，单调递增区为C．函数的最小值为，最大值为D．函数存在两个零点1和三、填空题(每小题5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上.)13．函数的定义域为________.14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的值域为________.15．四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是________.（用数字作答）.16．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则________.四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.）17．(10分)已知定义在上的函数是奇函数．(1)求实数的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．18．(12分)已知函数，.(1)判断的奇偶性并证明；(2)若函数，，是否存在，使得的最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．(12分)有9个外观相同的同规格砝码，其中1个由于生产瑕疵导致质量略有增加，小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码，设计了如下两种方案：方案一：每次从待称量的砝 码中随机选2个，按个数平分后分别放在天平的左､右托盘上，若天平平衡，则选出的2个砝码是没有瑕疵的；否则，有瑕疪的砝码在下降一侧.按此方法，直到找出有瑕疵的砝码为止.方案二：从待称量的砝码中随机选8个，按个数平分后分别放在天平的左､右托盘上，若天平平衡，则未被选出的那个砝码是有瑕疵的；否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，每次再将该侧砝码按个数平分，分别放在天平的左､右托盘上，，直到找出有瑕疵的砝码为止.(1)记方案一的称量次数为随机变量，求的概率分布；(2)上述两种方案中，小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小？并说明理由.20．(12分)已知三个函数①，②，③.（1）请从上述三个函数中选择一个函数，根据你选择的函数画出该函数的图象（不用写作图过程），并写出该函数的单调递减区间(不必说明理由)；（2）把（1）中所选的函数记为函数，若关于x的方程有且仅有两个不同的根，求实数k的取值范围；（3）（请从下面三个选项中选一个作答）（I）若（1）中所选①的函数时，有，且，求的值；（II）若（1）中所选②的函数时，有，且，求的取值范围；（III）若（1）中所选③的函数时，有，且，求的值.21.(12分)为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．22．(12分)已知函数，其中，且.(1)当时，求的单调区间；(2)若只有一个零点，求的取值范围.数学参考答案 题号123456789101112答案DCDBBACCABCDACDAD13.14.15.3016.017.(1)解：函数是定义域上的奇函数，，即，解得．………………….2分此时，则，符合题意；…………..4分(2)解：因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，…………..6分则不等式恒成立，即恒成立，…………..8分即恒成立，即恒成立，所以，解得，即.…………..10分18．(1)证明：定义域为，则为偶函数；…………..5分(2)解：，…………..7分当时，，令，则，，…………..8分当时，即，在上单调递增，所以时，，解得，…………..9分 当时即，时，，解得不成立；…………..10分当时，即，在上单调递减，所以时，，解得不成立．…………..11分故存在满足条件的．…………..12分19．（1）由题知：，…………..2分，，分布列为：1234………….7分（2）由（1）知：，…………..8分设方案二的称量次数为随机变量为，则，…………..10分，，所以小明应选择方案一可使称量次数的期望较小.…………..12分20．（1）若选①，函数图象如下图所示：…………..2分由图象可知函数的单调减区间为：和；…………..4分若选②，函数图象如下图所示： 由图象可知函数的单调减区间为：和；若选③，函数图象如下图所示：由图象可知函数的单调减区间为：；（2）关于的方程有且仅有两个不同的根与的函数图象有两个不同的交点，若选①，根据函数图像可知，若与的图象有两个交点，此时；…………..8分若选②，根据函数图像可知，若与的图象有两个交点，此时或；若选③，根据函数图像可知，若与的图象有两个交点，此时；（3）若选①，如图所示：设，因为的图象关于对称，………..10分 所以关于对称，关于对称，所以；…………..12分若选②，如图所示：设，由图象可知：，，所以，所以，所以，所以；若选③，如图所示：设，由图象可知：，且，所以，所以.21.解：（Ⅰ）设甲工程队的总造价为元，则，…………..4分．当且仅当，即时 等号成立．即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．…………..6分（Ⅱ）由题意可得，对任意的恒成立．…………..8分即，从而恒成立，令，…………..10分又在为单调增函数，故．所以．…………..12分22．(1)当时，，，易知在上单调递增，且，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；所以的单调递增区间是，单调递减区间是；…………..4分(2)，令，（i）当时，则，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；…………..5分故，则，在单调递增，又时，；时，；所以此时在只有一个零点；…………..7分 （ii）当时，则，恒成立，在单调递增，且，，又，则，故存在，使得，当时，，当时，，因为当时，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；…………..9分当时，取得极小值，由得，则，当时，等号成立，由，可得，解得，综合第一问可知，当时，只有一个零点；…………..11分综上，若只有一个零点，则的取值范围是.…………..12分