四川省遂宁市射洪中学2022-2023学年高二数学（文）上学期第一次月考试题（10月）（PDF版含答案）

射洪中学高2021级2022年下期第一次学月考试数学试题(文科)(总分：150分考试时间：120分钟)命题人：宋光辉林毅审题人：杨勇文质彬郭益校对人：高华英第I卷选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括()A.一个圆柱、一个圆锥B.一个圆柱、两个圆锥C.一个圆台、一个圆柱D.两个圆柱、一个圆台2.如图所示，点A、线m、面α之间的数学符号语言关系为()A.m⊂α，A∈mB.m⊂α，A∉mAmC.m∈α，A∉mD.m∈α，A∈mα3.如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A.平行CB.相交且垂直ADC.相交成60°BD.异面直线4.已知a，b，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列说法正确的是()A.若a⎳b，b⊂α，则a⎳αB.若α⎳β，a⊂α，b⊂β，则a⎳bC.若l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l⊥αD.若α⊥β，α∩β=a，l⊂α，l⊥a，则l⊥β5.如图，已知等腰直角三角形△OAB，OA=AB是一个平面图形的直观图，斜边OB=2，则这个平面图形的面积是()2A.B.1C.2D.222yPA45°ABxOBC5题图6题图6.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA=AC，则二面角P-BC-A的大小为()A.60°B.30°C.45°D.15°高二文数·1· 7.一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.828B.32正视图侧视图4C.3232D.3俯视图28.已知圆锥的表面积为6πcm，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为()32A.cmB.2cmC.3cmD.23cm29.已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心ππ10.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平46面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=()A.2：1αB.3：1AC.3：2BBβAD.4：32311.已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若该棱锥的体积为，AB=32，AC=1，AC⊥BC，则此球的表面积等于()A.5πB.8πC.16πD.20π12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E､F是线段A1C1上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中不正确的是()A.BD⊥CED1C1FEA1BB.BD⊥面CEF1C.三角形BEF和三角形CEF的面积相等D.三棱锥B-CEF的体积为定值DCAB高二文数·2· 第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.平面α⎳平面β，平面α∩平面γ=m，平面β∩平面γ=n，则直线m与n的位置关系是．14.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，则直线AC1与面BCC1B1所成角的正切值为.D1C1D1C1AB11A1B116cmM8cmDCCDABAB14题图15题图16题图15.玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”.《尔雅•释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之瑷，肉好“若一谓之环”.一般把体形扁平、周边圆形、中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通高2.5cm，内孔直径径8cm.外孔直径16cm，则该玉璧的体积为.16.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，M是侧面BBC1B1内的动点，满足AM⊥BD1，若AM与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ的最大值为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.满分10分在四面体A-BCD中，E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD=AC=2，EM=1.(1)求证：EF⎳平面ACD；A(2)求异面直线AC与BD所成的角.EBDFMC18.满分12分如图，在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中，点P为矩形A1B1C1D1的中心，AB=6，AD=4，AA1=5.1在面A1C1中，过点P画一条直线与棱BC平行并证明；2若1中所作直线与C1D1交于点Q，求三棱锥Q-A1D1D的体积.D1C1AP1B1DCAB高二文数·3· 119.满分12分如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC⎳平面PAD，BC=AD，E是PD的中点.2(1)求证：BC⎳AD；(2)求证：CE⎳平面PAB；PEADBC20.满分12分如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD∩AC=O．(1)证明：BD⏊平面PAC；(2)求三棱锥P-ABO的表面积．PADOBC21.满分12分如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM.P(2)若AQ⏊PB,证明NQ⏊PB.NQABM22.满分12分如图1，已知矩形ABCD中，AB=3,BC=2，E为CD上一点且CE=2DE.现将△ADE沿着AE折起，使点D到达点P的位置，且PE⊥BE，得到的图形如图2.PECDECMBABA图1图2(1)证明△BPA为直角三角形；(2)设动点M在线段AP上，判断直线EM与平面PCB的位置关系，并说明理由.3若Q为PB中点，求三棱锥Q-ABE的体积.高二文数·4· 射洪中学高2021级高二上期第一次月考文科数学答案1.【解析】由图可得答案A.【答案】AC2.【解析】易得答案为B.【答案】BABD3.【解析】翻折为正方体，如图，易得答案为C.第1题第3题【答案】C4.【解析】选项A:a⊂α或a⎳α，所以A错；选项B：a⎳b或a，b异面，所以B错；选项C：因为a，b未必然相交，所以不一定l⊥α,所以C错;选项D：面面垂直的性质定理.所以D正确.y【答案】DP5.【解析】根据直观图画法，可得原图形为：225题图6题图所以答案为DAB2x【答案】DC6.【解析】PA垂直于圆所在的平面，所以PA⏊BC，又AB为直径，C是圆上一点(不同于A，B)，所以AC⏊BC，所以BC⏊平面PAC，所以PC⏊BC，由二面角平面角定义可得∠PCA为二面角P-BC-A的平面角，而tan∠PCA=1,所以∠PCA=45°.D1C1【答案】DA1B1第7题图187.【解析】原图形如图：其体积V=×4×2=.33DC【答案】BAB8.【解析】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则πrl=6π，即rl=6，又它的侧面展开图是一个半圆，所以2πr=πl，所以l=2r，解得r=3.【答案】C9.【解析】连接AH并延长交BC于D，连接CH并延长交AB于E，P∵AP⏊PC，AP⏊PB，PB∩PC=P，C∴AP⏊平面PBC，而BC⊂平面PBC，∴AP⏊BC，ADH又PH⏊平面ABC，而BC⊂平面PBC，∴PH⏊BC，B∵AP∩PH=P,∴BC⏊平面APD，∴BC⏊AD，同理可证：AB⏊CE，故△ABC的两条高线交于点H，所以H为△ABC的垂心.【答案】C·1· ππ10.【解析】连接AB，AB，由题意可得∠BAB=，∠ABA=，46α设AB=BB=a，则AB=2a，AB=6a，A2AB=AB2-BB2=2a，∴AB：A′B′=2：1.Bβ2B【答案】AA231311.【解析】=××PA，∴PA=4，∴PB=25,332P取PB中点O，连接OA，OC，1则有OB=OP=OA=OC=PB直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2A1所以外接球球半径为PB=5，∴表面积为20π.2BC【答案】D12.【解析】连接AC交BD于O，选项A，B：易证BD⏊平面BCC1B1，所以BD⊥CE，故不选A，同理不选B；选项C：两个三角形的底均为EF，对于三角形CEF其EF边上的高为O点到直线A1C1的距离，而三角形BEF其EF边上的高为B点到直线A1C1的距离，显然两个距离不等，所以C错误，故选C；1选项D：VB-CEF=S△CEF×OB，S△CEF，OB均为定值，所以体积也为定值，故不选D.3【答案】C13.【解析】由面面平行的性质定理可得m⎳n.【答案】平行14.【解析】连接BC1，因为AB⏊平面BCC1B1，所以BC1为AC1在面BCC1B1内的射影，所以∠AC1B为直线ACAC1与面BCC1B1所成角，tan∠AC1B==2.AC1【答案】215.【解析】由题意可得该几何体为大圆柱内部挖去一个小圆柱，223则该玉璧的体积为=π8-4×2.5=120πcm.3【答案】120πcm16.【解析】连接AB1，B1C，AC，易证BD1⏊平面AB1C，所以M的轨迹为线段B1C，又AB⏊平面BCC1B1，所以BM为AM在平面BCC1B1的射影，AB3∴∠AMB为AM与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ==，BMBM3当M为B1C中点的时候，BM最短，即tanθ最大，∴tanθmax==2.322【答案】217.【解析】1∵E,F分别为AB,BC中点∴EF⎳AC∵EF⊄面ACD，AC⊂面ACD∴EF⎳面ACD·2· (2)由(1)知EF⎳AC.∵F，M分别是BC，CD的中点，可得FM⎳BD.∴∠EFM即为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).在△EFM中，EF=FM=EM=1，∴△EFM为等边三角形∴∠EFM=60°，即异面直线AC与BD所成的角为60°.18.【解析】1在面A1C1中，作直线B1C1的平行线PQ，交C1D1于点Q，PQ即为所求，证明如下：∵PQ⎳B1C1，B1C1⎳BC，∴PQ⎳BC，QD1C12因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，AP1B1∴QD1⏊平面ADD1A1，即QD1为三棱锥Q-A1D1D的高，且为3，DC11A∴VQ-A1D1D=3×2×4×5×3=10.B19.【解析】1因为BC⎳平面PAD，且BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，∴BC⎳AD，2取PA中点F，连接EF，BF，1∵E，F分别为PD，PA中点，∴EF⋕AD，21由1可得BC⋕AD，∴EF⋕BC，2∴CE⎳BF,而CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE⎳平面PAB.构造面面平行也可以20.【解析】1∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，P又底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又PA∩AC=A，∴BD⏊平面PAC；AD2∵PA⊥平面ABCD，∴△PAO，△PAB为直角三角形，OBC由1中BD⏊平面PAC可得△POB,△ABO为直角三角形，由题意可得PA=AD=AB=2，AO=BO=2，PO=4+2=6，1111其表面积=×2×2+×2×2+×2×6+×2×22222=2+2+3+1=3+2+3.∴三棱锥P-ABO的表面积为3+2+3.·3· 21.【解析】证明(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM=A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM=M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ=A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.22.【解析】(1)在折叠前的图中，如图：ECDAB=3,BC=2，E为CD上一点且CE=2DE，则ED=1,CE=2,∴BE=6,AE=3，BA折叠后PE⊥BE，所以PB=7，又AP=2，222所以PB+PA=AB⇒PB⊥PA，所以△BPA为直角三角形.PMPN(2)当动点M在线段AP上，满足=λ，同样在线段PB上取N，使得=λ，则MN⎳AB，PAPB22当λ=时，则MN=AB=2，又CE⎳AB且CE=2,所以MN⎳CE，且MN=CE，33所以四边形CEMN为平行四边形，所以ME⎳CN，又EM⊄平面PBC，所以此时ME⎳平面PBC；2当λ≠时，此时MN⎳CE，但MN≠CE，3所以四边形CEMN为梯形，所以ME与CN必然相交，所以ME与平面PBC必然相交.PM2综上，当动点M满足=时，ME⎳平面PBC；PA3PM2当动点M满足=λ，但λ≠时，ME与平面PBC相交.PA33若Q为PB中点，求三棱锥Q-ABE的体积.由1可得BE⏊AE，PE⊥BE，AE∩PE=E，∴BE⏊平面PAE，12S△PEA=×1×2=，BE=6，2213∴VB-PAE=×S△PEA×BE=,33113∴VQ-ABE=VP-ABE=VB-PAE=.226·4·