山东省济宁市汶上县第一中学2022-2023学年高二数学上学期第一次模块检测试题（Word版含解析）

数学定时练2022.9一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在空间四边形中，等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.【详解】根据向量加法、减法法则，得．故选：C2.已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示.其中则事件与事件（）A.是互斥事件，不是独立事件B.不是互斥事件，是独立事件C.既互斥事件，也是独立事件D.既不是互斥事件，也不是独立事件【答案】B【解析】【分析】由可判断事件是否为互斥事件，由可判断事件是否为独立事件.【详解】因为， 所以，，，所以事件与事件不是互斥事件，所以，，所以，所以事件与事件是独立事件.故选：B.3.若,,是空间任意三个向量,,下列关系式中,不成立的是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由平面向量加法的交换律、加法结合律、数乘运算及向量共线的性质即可得到答案．【详解】A项，由平面向量加法的交换律可知，，故A项正确，不符合题意．B项，由平面向量数乘运算知，，故B项正确，不符合题意．C项，由平面向量加法结合律可知，，故C项正确，不符合题意．D项，因为与不一定共线，所以不一定成立，故D项错误，符合题意．故本题正确答案为D【点睛】本题主要考查平面向量的数乘和平面向量的运算律，属于基础题．4.在一次随机试验中，已知A，B，C三个事件发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法一定正确的是A.B与C是互斥事件B.A＋B与C是对立事件C.A＋B＋C是必然事件D.【答案】D【解析】【分析】三个事件之间没有任何关系．根据事件和的概率性质可判断D正确． 【详解】A,B，C三个事件发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，不能确定它们之间有任何关系，故选项A、B、C均错，而，，D正确．故选D．【点睛】本题考查事件之间的关系，要注意事件的关系与它们的概率之间没有必然的联系，掌握互斥事件与对立事件的定义是解题基础．5.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n),则随着n的逐渐增大,有　(　　)A.f(n)与某个常数相等B.f(n)与某个常数的差逐渐减小C.f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小D.f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定【答案】D【解析】【详解】由频率和概率的关系知，在同等条件下进行次重复试验得到某个事件发生的频率，随着的逐渐增加，频率逐渐趋近于概率．故答案选点睛：本题是一道关于概率与频率的题目，解题的关键是掌握两者之间的关系，由概率与频率的关系可知，当试验次数足够大时，事件的频率在概率附近摆动并趋近概率6.某射击运动员射击一次命中目标的概率为，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率，则为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】三次都未命中的概率为 ，连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，即可求解.【详解】因为射击一次命中目标的概率为，所以射击一次未命中目标的概率为，因为每次射击结果相互独立，所以三次都未命中的概率为，因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，所以连续射击三次，至少有一次命中的概率，解得.故选：A【点睛】本题主要考查了n次独立重复试验，对立事件，属于中档题.7.给出下列命题：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有；②是，共线的充要条件；③若，共线，则；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若币（其中x，y，），则P，A，B，C四点共面.其中不正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析】直接利用向量的运算，向量的共线，共面向量的充要条件判定①②③④的结果．【详解】解：①若，，，是空间任意四点，则有；真命题．②或是，共线的充要条件；假命题．③若，共线，则；也可能重合，假命题．④对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中．， 当且仅当时，则，，，四点共面．假命题．故选：．8.一个电路如图所示，A，B，C为3个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可知当A开关闭合，B、C至少有一个闭合时灯亮，然后利用独立事件的概率公式求解即可【详解】解：因为A开关闭合概率为，B、C至少有一个闭合概率为，所以灯亮的概率是.故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9.某社区开展“防疫知识竞赛”，甲､乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】令且A、B 相互独立，从正反两个角度，利用事件的关系及含义表示出两人中至少有一人获得一等奖，进而求出其概率即可.【详解】记A为“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”，则且A、B相互独立.从正面考虑，甲､乙两人中至少有一人获得一等奖为，为三个互斥事件，所以；从反面考虑，事件“甲､乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲､乙两人都没获得一等奖”，即事件，易得，所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为，综上，A、D正确.故选：AD10.设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；【详解】解：对于A：，故A正确；对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：AD11.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（）. A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据事件的关系及运算求解．【详解】解：由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以，，则，故A、B，C正确；故D错误.故选ABC.【点睛】本题考查事件的关系及古典概型的概率计算，属于基础题．12.已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）A.向量的模是B.可以构成空间的一个基底C.向量和夹角的余弦值为D.向量与共线【答案】BC【解析】【分析】利用空间向量的模长公式可判断A选项的正误；利用空间向量数量积公式得出、、两两垂直，可判断B选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式可判断C选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式计算出与夹角的余弦值，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，，A选项错误；对于B选项，因为空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则、、 均为非零向量，，，，所以，、、两两垂直，则可以构成空间的一个基底，B选项正确；对于C选项，，C选项正确；对于D选项，，，同理可得，所以，，，则，D选项错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有________个．【答案】5【解析】【分析】用有序实数对表示投掷两枚骰子的点数的情况，利用列举法可得.【详解】用有序实数对表示投掷两枚骰子的点数的情况，则点数之和为8的样本点有：(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5个．故答案为：514.己知空间向量，且，则在上的投影向量为________．【答案】##【解析】【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】依题意在上的投影向量为.故答案为： 15.已知，，且，互斥，则___________.【答案】0【解析】【分析】根据互斥事件的概念即可得结果.【详解】由于，互斥，即不可能同时发生，所以，故答案为：0.16.已知是棱长为2的正方体内切球的一条直径，则_________．【答案】2【解析】【分析】设该正方体的内切球的球心为O，由，结合向量数量积运算求得正确答案.【详解】因为正方体的棱长为2，所以其内切球的半径．又球心一定在该正方体的体对角线的中点处，且体对角线长为，所以设该正方体的内切球的球心为O，则，易知，所以．故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，17题10分其他题目各12分共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数.写出：（1）这个试验的样本空间；（2）这个试验的结果的个数；（3）指出事件的含义.【答案】（1）答案见解析（2）（3）抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为【解析】【分析】（1）列举出所有可能的结果即可得到样本空间；（2）根据（1）的结果可得试验结果个数；（3）由可确定事件的含义.【小问1详解】样本空间【小问2详解】由（1）知：这个试验的结果的个数共有个.【小问3详解】由可知：事件表示抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为.18.如图所示，在平行六面体中，设，分别是，，的中点，试用表示以下各向量： （1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）（2）根据向量加法的三角形法则表示即可；（3）根据空间向量的线性表示，用和分别表示出和，再进行求和即可.【详解】解：（1）∵是的中点，∴.（2）∵是的中点，∴.（3）∵是的中点，∴，又，∴. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算的应用，涉及向量的加法运算，属于基础题.19.有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A发生的概率是事件B发生的概率的2倍，事件C发生的概率比事件B发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C发生的概率.【答案】，，【解析】【分析】要求各事件的概率,只需根据题设条件,列出方程求解.【详解】设，则，.由题意知，解得.所以，，.【点睛】本题考查互斥事件的概率,灵活运用概率与函数的综合应用知识点进行解题,是本题的重点,属于基础题.20.如图所示，在平行六面体中，E、F分别在和上，且，．（1）证明四点共面；（2）若，求的值．【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）通过证明，由此能够证明四点共面；（2）结合图形利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理进行求解．【小问1详解】证明：在平行六面体中，，，∵，所以共面，且A为公共点，所以四点共面；【小问2详解】，，∴，∵，∴，∴． 21.某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【详解】（Ⅰ）记“选手能正确回答第轮的问题”的事件记为，则，，所以选手进入第四轮才被淘汰的概率:．（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率．22.已知平行六面体的所有棱长均为1，．用向量解决下面的问题 （1）求的长；（2）求证：平面．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用转化法将换成，利用求模长即可；（2）利用向量垂直来证明，，再利用线面垂直的判定定理证明即可.【小问1详解】设，则，又，所以，即；小问2详解】因为，所以．所以，同理可得， 又平面．所以平面．