江苏省盐城市南阳中学2022-2023学年高二数学上学期第一次学情检测试题（Word版含解析）

南阳中学2022-2023学年秋学期第一次学情检测考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题(共40分)1.设a∈R，则“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”得到a＝－2或a＝1，即得解.【详解】解：若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0与直线l2：x－y＋4＝0平行；若“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴，解得a＝－2或a＝1，∴“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要条件．故选：A2.直线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.120°D.150°【答案】A【解析】【分析】求得直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解.【详解】由题意，直线可化为，可得斜率，设直线的倾斜角为，则， 因为，所以．故选：A．3.已知平面向量，满足，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量垂直的性质、向量的模长公式以及夹角公式求解.【详解】因为，所以，又，所以，所以，故B，C，D错误.故选：A.4.点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用点到直线的距离公式列不等式即可求得.【详解】因为点到直线的距离大于5，所以，解得：或，所以实数的取值范围为.故选：B5.直线过点A（1，1），且在y轴上的截距的取值范围为（0，2），则直线 的斜率的取值范围为（　　）A.（－1，3）B.（1，3）C.（0，1）D.（－1，1）【答案】D【解析】【分析】根据题意设直线l的方程为，可得其在y轴上的截距为，再由题意列不等式组可求出的取值范围.【详解】设直线l的斜率为，则其方程为，可化为，由l在y轴上的截距的取值范围为（0，2），可得，解得．故选：D．6.在中，已知，且，则的形状为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】由题意,可知,展开并代入原式,可得到,可求出，再由，结合余弦定理可求出A,即可判断出形状.【详解】由题意,,则,又，则,由可得，即，所以，由，知，综上可知即的形状是等边三角形.故选：B 7.如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】考虑到该题为高一新生所做，过点作交于，在求得与的长度即可.【详解】过点作交于，如图所示。因为四边形是菱形，所以，,所以在中，，所以在中，，，，故的坐标为：.故选：D.8.直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】 【分析】先求得两点的坐标，求得关于对称点的坐标，根据三点共线求得的最大值.【详解】依题意可知，关于直线的对称点为，，即求的最大值，，当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，也即的最大值是.故选：A二、多选题(共20分)9.若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】将点坐标代入各方程判断是否在直线上，再求直线在x、y轴上的截距，即可得答案.【详解】A：显然在上，且在x、y轴上的截距均为1，符合；B：显然在上，且在x、y轴上的截距均为3，符合；C：显然在上，且在x、y轴上的截距均为0，符合；D：不在上，不符合.故选：ABC10.已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（）A.B.C.D. 【答案】BC【解析】【分析】根据“切割型直线”的定义，利用点到直线的距离公式逐个计算点到直线的距离，与4比较大小即可得结论【详解】对于A，设点M到直线的距离为d，对于A，，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故A不符合题意；对于B，，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意；对于C，，故直线上存在一点到点M的距离等于4，故C符合题意；对于D，，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，故D不符合题意．故选：BC11.设点，若直线与线段AB没有交点，则a的取值可能是（　　）A.－1B.C.1D.【答案】AC【解析】【分析】找到所过的定点，结合线段端点判断直线与线段AB没有交点对应斜率范围，即可得参数a范围，进而确定答案.【详解】如图，直线过定点，且， 由图知：当直线与线段AB没有交点时，则，所以.故选：AC12已知直线：和直线：，则（）A.若，则或B.若在轴和轴上的截距相等，则C.若，则或2D.若，则与间的距离为【答案】CD【解析】【分析】由两直线平行，即可求出，则可判断出A选项，结合两直线的距离公式即可判断出D选项；由在轴和轴上截距相等等价于过原点或其斜率为，即可列出等式，解出或2，则可判断出B选项；由两直线垂直，即可求出或2，则可判断出C选项.【详解】若，由，解得或，经检验当时，，重合，当时，，所以，故A错误；若在轴和轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，则或，故B错误；若，则，解得或2，故C正确； 当时，，则：，：，即：，则与间的距离为，故D正确．故选：CD．第II卷（非选择题）三、填空题(共20分)13.设、、分别是的对边长，则直线与的位置关系是______．【答案】重合【解析】【分析】利用正弦定理直接判断可知.【详解】由正弦定理可知，，所以直线与重合.故答案为：重合.14.已知直线l1：与l2：相交于点，则__．【答案】﹣1【解析】【分析】把分别代入直线l1和直线l2的方程，可得和的值，从而得解．【详解】解：把分别代入直线l1和直线l2的方程，得，所以，所以．故答案为：-1．15.在△ABC中，，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC ，则AB等于___．【答案】3【解析】【分析】运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可.【详解】设，因为BD＝2DC，AD＝DC，所以，在中，由余弦定理可知：，在中，由余弦定理可知：，于是有，在中，由余弦定理可知：，，把代入中得，，故答案为：316.已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为______．【答案】【解析】【分析】先设出所求直线和已知直线的倾斜角，利用直线的一般式方程得到已知直线的斜率，再利用二倍角的正切公式求出所求直线的斜率，进而写出直线的点斜式方程，化为一般式即可.【详解】设所求直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，且，所以，所以可得直线l的方程为，即．故答案为：. 四、解答题(共70分)17.已知直线.（1）当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：（2）当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先求出且，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值；（2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围.小问1详解】由条件知，且，在直线l的方程中，令得，令得∴，解得：，或，经检验，，均符合要求.【小问2详解】当时，l的方程为：.即，此时l不通过第四象限；当时，直线/的方程为：.l不通过第四象限，即，解得综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为18.如图，如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面． （1）证明：平面；（2）求到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理作答.（2）将到平面的距离转化为到平面的距离，再利用等体积法计算作答.【小问1详解】在四棱锥中，底面，平面，则，在中，，而，即有，则有，因，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）可得，，因，则，，，令到平面的距离为h，由，即得：，解得，因，平面，平面，于是得平面，所以到平面的距离等于到平面的距离.19.已知直线和．（1）若两直线垂直，求实数a值； （2）若两直线平行，求两直线间的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由直线一般方程的垂直公式，即得解；（2）由直线一般方程的平行公式，求得a=−1，再由平行线的距离公式，即得解.【小问1详解】解：据题意有：a＋3（a－2）＝0，解得；【小问2详解】解：据题意有：，解得a＝3或a＝－1；当a＝3时，两直线重合，故舍去；所以a＝－1；此时，；则两直线间的距离为.20.已知直线和直线互相垂直，求的取值范围．【答案】【解析】【分析】通过两直线垂直的充要条件得到，然后两边同时除以m，使用不等式即可解决.【详解】因为，所以，所以，因为，所以．因为，所以，所以，故的取值范围为． 21.已知直线和点，．（1）在直线l上求一点P，使的值最小；（2）在直线l上求一点P，使的值最大．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）通过找出点A关于直线l的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点P的坐标;（2）利用三角形的三边关系可知，再求出直线AB的方程，即可求出点P的坐标.【小问1详解】设A关于直线l的对称点为，则，解得，故，又∵P为直线l上的一点，则，当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值，点P即是直线与直线l的交点．由，解得，故所求的点P的坐标为．【小问2详解】由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点, 又∵直线AB的方程为，∴由，解得，故所求的点P的坐标为．22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．（1）求面积的最小值及此时直线l的方程；（2）求当取得最小值时直线l的方程．【答案】（1）6，（2）【解析】【分析】（1）设直线方程为，，求出两点坐标，从而求得面积，由基本不等式得最小值，从而得此时直线方程；（2）设，，由A，P，B三点共线得，计算，用基本不等式求得最小值，并求得值得直线方程．【小问1详解】∵点在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴相交，∴直线l的斜率，则设直线l的方程为，，令，得；令，得．∴．∵，∴，∴，当且仅当 ，即时等号成立．∴面积的最小值为6．此时直线l的方程为，即．【小问2详解】设，，，．∵A，P，B三点共线，∴，整理得，∴，当且仅当，即时等号成立，∴当取得最小值时，直线l的方程为，即．