江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高二数学上学期第一次月考试题（Word版含答案）

2022-2023学年度高二10月月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（是虚数单位）的虚部是A．1B．C．2D．2i2．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则A∩B＝B，则实数m的取值范围是A．[2，3]B．(－∞，3]C．(2，3]D．(－∞，2]3．若，，，则m的值为A．B．2C．D．4．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲､乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为A．B．C．D．5．已知等差数列的前n项和为，若，，则A．－10B．－20C．－120D．－1106．在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上．为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A，B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上；在B处测得该塔底部C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ．已知AB＝a，0<γ<β<α<，则此塔的高CD为A．tanγB．tanγC．tanγD．tanγ7．已知边长为的菱形ABCD，，沿对角线BD把折起，二面角的平面角是，则三棱锥的外接球的表面积是A．B．C．D．8．若a＞b＞c＞1，且，则A．logab＞logbc＞logcaB．logcb＞logba＞logacC．logbc＞logab＞logcaD．logba＞logcb＞logac二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在的展开式中，若第六项为二项式系数最大的项，则n的值可能为A．11B．10C．9D．810．已知由样本数据，，2，3，，组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是A．相关变量x，y具有正相关关系B．去除两个样本点和后，回归直线方程为C．去除两个样本点和后，随值增加相关变量y值增加速度变小D．去除两个样本点和后，样本的残差为0.111．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则A．点C与点G到平面AEF的距离相等B．直线A1G与平面AEF平行C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为D．平面AEF截正方体所得的截面面积为12．有4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛，并决出胜负），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是A.四支球队并列第一名为不可能事件B.有可能出现恰有三支球队并列第一名C.恰有两支球队并列第一名的概率为D.只有一支球队名列第一名的概率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，则▲．14．在平面直角坐标系中，圆M交轴于，交y轴于，四边形ABCD的面积为18，则▲．15．为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）. 根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为▲．附：若随机变量X服从正态分布，则.16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，过F点作两条相互垂直的直线，分别与椭圆交于点P，与椭圆右准线交于点Q（点P，Q均在x轴的上方）．若O，F，Q，P四点共圆，则椭圆离心率的取值范围▲．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，其面积，．（1）求和角；（2）如图，平分，且，，求的长．（第17题图）18．（本小题满分12分）已知等差数列满足，，等比数列满足，且．（1）求数列，的通项公式；（2）记数列的前n项和，若数列满足，，求的前n项和Tn．19．（本小题满分12分）新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验．根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力．通过检测，用x表示注射疫苗后的天数，y表示人体中抗体含量水平（单位：miu/mL，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示． 天数x123456抗体含量水平y510265096195根据以上数据，绘制了散点图．(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出到断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取3天的数据作进一步的分析，求其中的y值小于50的天数X的分布列及数学期望．参考数据：其中．3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87参考公式：；，．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．(1)证明：EF∥平面PCD(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：过点，左、右焦点分别是，．过的直线与椭圆交于，两点，且△的周长为．（1）求椭圆C的方程； （2）若点满足，求四边形面积的最大值．22．（本小题满分12分）已知，．（1）若存在，使成立，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使对任意恒成立?证明你的结论． 参考答案1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】ABC10.【答案】AB11.【答案】BCD12.【答案】ABD13.【答案】14.【答案】15.【答案】依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为16.【答案】17.解：（1）因为，所以，因为，所以，……2分又因为，所以．……5分（2）因为平分，所以，在△ABD中，，，，由正弦定理可得：，……7分在△BCD中，，，，由余弦定理可得：， 所以．……10分18.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为，，所以，解得a1＝1，d＝2，即，……3分又设等比数列{bn}的公比为q，满足b3+b5＝2（b2+b4），所以b2q+b2q3＝2（b2+b2q2），即q+q3＝2（1+q2），所以q＝2，因为，所以b2＝2b12＝b1q，所以b1＝1，．……6分（2）由（1）可得Sn＝n2，所以，当时，，两式相减可得，所以，当时，，也成立，所以，所以，……10分故，两式相减可得，故Tn＝3+（2n﹣3）2n．……12分19.解：(1)根据散点图判断，更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型.……2分(2)，，设，则有，，， ，所以y关于x的回归方程为.……5分当时，，则该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为miu/mL.……6分(3)由表中数据可知，前三天的值小于50，故的可能取值为0，1，2，3.，，，，……10分故的分布列为0123所以数学期望.……12分20.解：(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，因为E，F分别为PA，BC的中点，所以，又底面ABCD为菱形，所以，所以，所以四边形EGCF为平行四边形，所以……2分又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．……4分(2)解：连接，因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因为四边形ABCD为菱形，，所以为等边三角形，因为F为BC的中点，所以， 因为∥，所以，所以两两垂直，……6分所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），则．设平面DEF的法向量，则，令，得．……8分设直线AF与平面DEF所成的角为θ，则，所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为.……12分21.解：（1）因为椭圆过点，且△的周长为．所以，解得，，所以椭圆的方程为．……4分（2）由（1）可知，的坐标为，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，，联立，得，所以，，且△恒成立，……6分因为点满足，故四边形为平行四边形，设其面积为，则， 所以，……8分又，……10分令，则，当且仅当，即时，有最大值4．答：四边形面积的最大值为4．……12分22.解：（1）令h(x)＝lnx－ax3－(1－3a)x－1，h’(x)＝－3ax2＋(3a－1)＝[－3ax3＋(3a－1)x＋1]＝(x－1)(－3ax2－3ax－1)，令k(x)＝3ax2＋3ax＋1，x∈[1，e]，若a≥0，则k(x)＞0，于是h’(x)≤0，所以h(x)在[1，e]上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝2a－2，要求2a－2＞0，解得a＞1；……2分若a＜0，则令k(x)＝3ax2＋3ax＋1＝0，△＝9a2－12a＞0，x1＋x2＝－1，x1x2＝＜0，k(x)＝0在(0，＋∞)上有且只有一个零点x0，则若x0∈(1，e)x(1，x0)x0(x0，e)h’(x)－0＋h(x)↘极小值↗或若x0∈(e，＋∞)，x(1，x0)x0(x0，e)h’(x)－0＋h(x)↘极小值↗故h(x)max＝max{h(1)，h(e)}，因此要求h(1)＞0，或h(e)＞0，解得a＞1，或a＜，所以a＜，综上所述，a的取值范围是．……6分（2）存在a＝．……7分 设m(x)＝lnx＋(－x3)，m’(x)＝＋(－3x2)，可知m’(1)＝0，m’’(x)＝－＋(－6x)＝－(＋3x)，当1≤x＜2时，m’’(x)＝－(＋3x)＜()max－(＋3x)min＝－4＜0，因此m’(x)在[1，2)上单调递减，又因为m’(1)＝0，所以m’(x)＜0，因此m(x)在[1，2)上单调递减，所以m(x)≤m(1)＝0，故f(x)＋g(x)≤0；……9分当0＜x＜1时，0＜x2＜x＜1，m’’(x)＝－(＋3x)＜－(＋3x)＜－2＜0，因此m’(x)在(0，1)上单调递减，又因为m’(1)＝0，所以m’(x)＞0，因此m(x)在(0，1)上单调递增，所以m(x)≤m(1)＝0，故f(x)＋g(x)≤0；……11分综上所述，当a＝时，f(x)＋g(x)≤0对任意x∈(0，2)恒成立．……12分