吉林省长春外国语学校2022-2023学年高二数学上学期第一次月考试题（Word版含解析）

长春外国语学校2022-2023学年第一学期第一次月考高二年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，已知两点坐标，则（）A.B.C.D.2.已知直线的倾斜角为，则其斜率为（）A.B.C.D.3.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）AB.C.D.与斜交4.正四面体棱长为，为中点，则（）AB.C.D.5.以为顶点的三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 C.以为直角的直角三角形D.以为直角的直角三角形6.如图，设直线的斜率分别为，则的大小关系为（）A.B.C.D.7.在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）A.B.C.D.8.经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（）A.B.C.D.二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.9.下列说法正确的有（）A.每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应B.倾斜角为的直线的斜率为C.一条直线的倾斜角为，则其斜率为D.直线斜率的取值范围是10.如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（）第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.11.已知，则_________.12.已知直线经过点．则直线的一个方向向量为________.13.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面所成角的大小为______．14.如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，平面，异面直线与所成角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______．四、解答题：每小题10分，共5小题，共50分.15.在平面直角坐标系中，已知点，，（1）若三点共线，求实数的值；（2）若，求实数的值.16.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD中点．第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 （1）用向量表示，；（2）若，求实数的值．17.已知空间向量，，．（1）若，求；（2）若，求的值．18.如图，在边长为2正方体中，分别为的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若，，且，求平面与平面夹角的余弦值．第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 长春外国语学校2022-2023学年第一学期第一次月考高二年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，已知两点坐标，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间两点间距离公式直接求解即可.【详解】由题意得.故选：A.2.已知直线的倾斜角为，则其斜率为（）A.B.C.D.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【答案】D【解析】【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】斜率故选：D3.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）A.B.C.D.与斜交【答案】A【解析】【分析】根据平面的法向量与直线的方向向量平行，从而得到直线与平面垂直.【详解】由题意得：，则，.故选：A4.正四面体棱长为，为中点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用基底向量表达，根据数量积的运算律即可求解.【详解】以为基底向量，则,且两两夹角为，则，，故选：B5.以为顶点的三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 C.以为直角的直角三角形D.以为直角的直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据点的坐标得到向量，通过计算向量的数量积得到，从而得到△ABC的形状.【详解】由题意得，则，则，即,则△ABC为以A为直角的直角三角形.故选：C.6.如图，设直线的斜率分别为，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据斜率的定义即可求解.【详解】由图可知：的倾斜角为锐角，且比倾斜程度更大，而的倾斜角为钝角，故，故选：D7.在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据线线平行可用几何法找到两异面直线所成的平面角，利用锐角三角函数即可求解.【详解】取中点,连接,,设正方体的棱长为2，由于分别为的中点，则又在正方体中，由于,因此可得,故或其补角即为异面直线与所成角，因为,所以平面,平面,故,在直角三角形中，故选:C8.经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】作出线段及点，即可得出直线变化范围，即可确定斜率取值范围.【详解】如图所示，，故直线斜率的取值范围是.故选：A二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.9.下列说法正确的有（）A.每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应B.倾斜角为的直线的斜率为C.一条直线的倾斜角为，则其斜率为D.直线斜率的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】由倾斜角与斜率的关系即可判断.【详解】对A，每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应，A正确；对B，，B错误；对C，倾斜角为时，斜率不存在，C错误；对D，直线斜率，直线斜率的取值范围是，D正确.故选：AD.10.如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】设正方体的棱长得到点A，E，F的坐标，从而得到平面AEF的法向量满足的条件，对z合理赋值逐一判断即可.【详解】设正方体的棱长为2，则易得，则，设平面AEF的法向量为，则有，即，令得平面AEF的法向量为，令得平面AEF的法向量为，令得平面AEF的法向量为.故选：AB.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.11.已知，则_________.【答案】第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】,所以，故答案为：12.已知直线经过点．则直线的一个方向向量为________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题意，根据方向向量的定义，可得答案.【详解】由方向向量定义，直线的一个方向向量为，故答案为：（答案不唯一）.13.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面所成角的大小为______．【答案】30°##【解析】【分析】根据线面角的定义及性质，分析即可得答案.【详解】因为直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，所以直线l所在直线与法向量所在直线夹角为，所以直线l与平面所成角的大小为.故答案为：14.如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______．第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【答案】##1.5【解析】【分析】连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.借助题设条件找出，，三点的坐标，最后利用点到直线距离的向量求法进行求解即可.【详解】连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，，为异面直线与所成角，即.在菱形中，，，，．设，则，．在中，由，，可得，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 ，，，，，点到直线的距离为.故答案为：.四、解答题：每小题10分，共5小题，共50分.15.在平面直角坐标系中，已知点，，（1）若三点共线，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据点的坐标得到向量，根据三点共线则向量与向量共线得到方程组，解方程组得到m的值；（2）根据两直线垂直得到向量的数量积为0，从而得到关于m的方程，解方程得到m的值.【小问1详解】由题意得，则由三点共线得存实数，使得，即，解得或.【小问2详解】由得，即，解得.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 16.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．（1）用向量表示，；（2）若，求实数的值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）作出图形，根据平面向量的基本定理求解即可；（2）由平面向量的基本定理表示即可求解【详解】（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，（2）17.已知空间向量，，．（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x值，由向量模的坐标运算求解即可；第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，从而得到，由空间向量的夹角公式求解即可．【详解】解：（1）空间向量，，，因为，所以存在实数k，使得，所以，解得，则．（2）因为，则，解得，所以，故．18.如图，在边长为2的正方体中，分别为的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）建立坐标系求出点的坐标，利用向量的坐标运算求平面法向量即可求解，（2）利用向量法求解点面距离即可．【小问1详解】建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，分别为，的中点，，1，，，1，，，0，，，2，，设平面的法向量为，则,即，令，则因为，，所以平面．【小问2详解】,,设点到平面的距离为，所以19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：平面；（2）若，，且，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取PD中点G，连接GE、GC，证四边形GEFC，即可得，由线线平行证线面平行即可；（2）取DA中点H，连接EH，证、，即可得为平面与平面的夹角，在内求即可.【小问1详解】取PD中点G，连接GE、GC，∵分别为的中点．底面为菱形，∴，∴四边形GEFC为，∴，又平面，平面，∴平面；【小问2详解】取DA中点H，连接EH，则，，∵，∴，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 ∵，为菱形，∴，∴为正三角形，F为BC的中点．∴，，即，又平面平面，∴为平面与平面的夹角，，∴平面与平面夹角的余弦值为.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司