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黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高二数学上学期10月月考试题(Word版含解析)
黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高二数学上学期10月月考试题(Word版含解析)
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高二上学期第一次月考数学试题(考试时间:120分钟满分:150分)一、单选题:1.一条直线过点和,则该直线的倾斜角为()A.B.C.D.2.圆的半径等于()A.B.C.D.3.已知椭圆的左、右焦点分别为,点是椭圆上的一点,点是线段的中点,为坐标原点,若,则()A.3B.4C.6D.114.若直线x+ny+3=0与直线nx+9y+9=0平行,则实数n的值为()A.3B.-3C.1或3D.3或-35.已知正方体中,分别为的中点,则()AB.C.D.6.已知椭圆C:()的左、右顶点分别为,,且以线段为直径的圆与直线相交,则椭圆C的离心率的取值范围为()A.B.C.D..7.已知圆为坐标原点,以为直径作圆,交圆于两点,则面积为()A.B.C.3D.8.椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于,两点,是点关于原点的 对称点,若,,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.二、多选题:9.已知椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,则这个椭圆的标准方程可以为()A.B.C.D.10.已知直线,圆,则下列选项中正确的是()A.圆心的轨迹方程为B.时,直线被圆截得的弦长的最小值为C.若直线被圆截得的弦长为定值,则D.时,若直线与圆相切,则11.已知实数x,y满足方程,则下列说法正确的是()A.的最大值为B.的最小值为0C.的最大值为D.的最大值为12.已知椭圆的左、右焦点分别是,,左、右顶点分别是,,点是椭圆上异于,的任意一点,则下列说法正确的是() A.B.直线与直线的斜率之积为C.存点满足D.若的面积为,则点的横坐标为三、填空题13.点到直线的距离为___________.14.设是椭圆两个焦点,是椭圆上的点,且,则的面积等于_______.15.已知斜率为的直线与椭圆相交于A,B两点,若线段AB的中点为,则的值为______,此时_________16.直线与圆C:交于A、B两点,分别过A、B两点作圆的切线,设切线的交点为M,则点M的轨迹方程为_________.四、解答题17.已知直线l1:2x+y+3=0,l2:x﹣2y=0.(1)求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程,并求l2与l3的交点P;(2)求过点P且与原点O(0,0)距离等于2的直线m的方程.18.求适合下列条件椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点;(2)经过点,.19.已知圆过点,,.(1)求圆的标准方程;(2)过点作圆的切线,求该切线方程.20.在平面直角坐标系中,已知两圆和,动圆在内部且和圆相内切且和圆相外切,动圆圆心的轨迹为E. (1)求E的标准方程;(2)点P为E上一动点,点O为坐标原点,曲线E的右焦点为F,求的最小值.21.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,M为PC中点.(1)求证:PA∥平面MBD;(2)若AB=AD=PA=2,∠BAD=120°,求二面角B-AM-D的正弦值.22.如图,已知圆,点为直线上一点,过点作圆的切线,切点分别为.(1)直线是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由;(2)若,两条切线分别交轴于点,记四边形面积为,三角形面积为,求的最小值. 高二上学期第一次月考数学试题(考试时间:120分钟满分:150分)一、单选题:1.一条直线过点和,则该直线的倾斜角为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先求出直线的斜率,再根据斜率与倾斜角的关系计算可得;【详解】解:因为直线过点和,所以,设直线的倾斜角为,则,因为,所以;故选:C2.圆的半径等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把圆的普通方程,化为标准方程,即可得到圆的半径.【详解】把圆化为标准方程得,圆,所以圆半径为.故选:B.3.已知椭圆的左、右焦点分别为,点是椭圆上的一点,点是线段的中点,为坐标原点,若,则()A.3B.4C.6D.11 【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的定义可得,再结合条件即求.【详解】由椭圆的定义可知,因为,所以,因为点分别是线段,的中点,所以是的中位线,所以.故选:A.4.若直线x+ny+3=0与直线nx+9y+9=0平行,则实数n的值为()A.3B.-3C.1或3D.3或-3【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行的公式求解即可.【详解】由题意知,且,故.故选:B5.已知正方体中,分别为的中点,则()A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系,然后计算相应的数量积即可确定垂直关系.【详解】建立如图坐标系,不妨设正方体的棱长为.则∴,得到故.故选:D.6.已知椭圆C:()的左、右顶点分别为,,且以线段为直径的圆与直线相交,则椭圆C的离心率的取值范围为()A.B.C.D..【答案】B 【解析】【分析】由题设以线段为直径的圆为,根据直线与圆相交,利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.【详解】由题设,以线段为直径的圆为,与直线相交,所以,可得,即,又,所以.故选:B7.已知圆为坐标原点,以为直径作圆,交圆于两点,则的面积为()A.B.C.3D.【答案】A【解析】【分析】连接,从而得到为等边三角形,从而求得其面积.【详解】如图,连接.由题意知圆的方程为,圆与圆的半径均为,且,故,同理可得,则为等边三角形,所以的面积为 故选:A8.椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于,两点,是点关于原点的对称点,若,,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作另一焦点为,连接,,根据平面几何知识得出三角形为等腰直角三角形,设,根据椭圆的定义以及勾股定理,构造齐次方程,即可得出离心率.【详解】作另一焦点为,连接,,则四边形为平行四边形,且,则三角形为等腰直角三角形设,则,即在三角形中,由勾股定理得则,即故选:C 【点睛】本题主要考查了构造齐次方程求椭圆的离心率,属于中档题.二、多选题:9.已知椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,则这个椭圆的标准方程可以为()A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由题意得到,再根据,求出,分焦点在x轴和y轴上写出标准方程即可【详解】解:因为椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,所以,解得,又,所以当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为;当椭圆的焦㤐在y轴上时,椭圆的标准方程为,故选:BD10.已知直线,圆,则下列选项中正确的是() A.圆心轨迹方程为B.时,直线被圆截得的弦长的最小值为C.若直线被圆截得的弦长为定值,则D.时,若直线与圆相切,则【答案】BC【解析】【分析】首先表示出圆心坐标,即可判断A,再求出直线过定点坐标,由弦长公式判断B,求出圆心到直线的距离,当距离为定值时,弦长也为定值,即可判断C,求出圆心到直线的距离,即可判断D;【详解】解:圆的圆心坐标为,所以圆心的轨迹方程为,故A错误;直线,令,解得,即直线恒过点,当时圆,圆心为,半径,又,所以直线被圆截得的弦长的最小值为,故B正确;对于C:若直线被圆截得的弦长为定值,则圆心到直线的距离为定值,所以,解得,故C正确;对于D:当时直线,圆心到直线的距离,当时,此时直线与圆不相切,故D错误;故选:BC 11.已知实数x,y满足方程,则下列说法正确的是()A.的最大值为B.的最小值为0C.的最大值为D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据的几何意义,结合图形可求得的最值,由此判断A,B,根据的几何意义求其最值,判断C,再利用三角换元,结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x,y满足方程可得点在圆上,作其图象如下,因为表示点与坐标原点连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为,则,解得:或,,,,A,B正确;表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为,所以最大值为,又,所以的最大值为,C错, 因为可化为,故可设,,所以,所以当时,即时取最大值,最大值为,D对,故选:ABD.12.已知椭圆的左、右焦点分别是,,左、右顶点分别是,,点是椭圆上异于,的任意一点,则下列说法正确的是()A.B.直线与直线的斜率之积为C.存在点满足D.若的面积为,则点的横坐标为【答案】BD【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A,设,计算斜率之积,判断B,求出当是短轴端点时的后可判断C,由三角形面积求得点坐标后可判断D.【详解】由题意,,,,,短轴一个顶点,,A错;设,则,,所以,B正确; 因为,所以,从而,而是椭圆上任一点时,当是短轴端点时最大,因此不存在点满足,C错;,,,则,,D正确.故选:BD.【点睛】关键点点睛:本题考查椭圆的标准方程,椭圆的定义及椭圆的性质.有结论如下:椭圆上的点与两焦点连线的斜率为定值,椭圆上的点对两焦点的张角最大时,点为短轴端点.三、填空题13.点到直线的距离为___________.【答案】【解析】【分析】由点到直线的距离公式计算.【详解】由已知所求距离为.故答案为:.14.设是椭圆的两个焦点,是椭圆上的点,且,则的面积等于_______.【答案】【解析】【分析】先利用定义求出的各边,再求出,即可求出的面积. 【详解】由,且,在中,∠.故答案为:15.已知斜率为的直线与椭圆相交于A,B两点,若线段AB的中点为,则的值为______,此时_________【答案】①.2②.【解析】【分析】根据中点弦以及点差法即可求解斜率,联立方程得韦达定理,由弦长公式即可求解.【详解】设,则,两式相减得,进而可得,又是的中点,所以,因此,此时直线方程为:,联立, 因此,故答案为:2,16.直线与圆C:交于A、B两点,分别过A、B两点作圆的切线,设切线的交点为M,则点M的轨迹方程为_________.【答案】【解析】【分析】根据垂直关系,转化为向量的数量积为0,进而联立方程即可求解.【详解】由直线可得该直线过定点,圆C:圆心为,设,则由于因此,进而得:以及,两式相减得:,又因为在上,所以,因此可得,故答案为:四、解答题17.已知直线l1:2x+y+3=0,l2:x﹣2y=0. (1)求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程,并求l2与l3的交点P;(2)求过点P且与原点O(0,0)距离等于2的直线m的方程.【答案】(1)2x﹣y+3=0,P(﹣2,﹣1);(2)3x+4y+10=0或x=﹣2.【解析】【分析】(1)由对称关系求直线l3的方程,联立l2与l3的方程,求点P的坐标,(2)当直线m的斜率存在时,设直线m的点斜式方程,由点到直线距离公式列方程求斜率,由此可得直线m的方程,再检验过点P的斜率不存在的直线是否满足要求.【详解】(1)由题意,直线l3与直线l1的倾斜角互补,从而它们的斜率互为相反数,且l1与l3必过x轴上相同点,∴直线l3的方程为2x﹣y+3=0,由解得∴P(﹣2,﹣1).(2)当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y+1=k(x+2),即kx﹣y+2k﹣1=0,∴原点O(0,0)到直线m距离为,解得,∴直线m方程为3x+4y+10=0,当直线m的斜率不存在时,直线x=﹣2满足题意,综上直线m的方程为3x+4y+10=0或x=﹣2.18.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点;(2)经过点,.【答案】(1)(2)【解析】 【分析】(1)根据椭圆上的点,结合椭圆的定义,求后,即可求得椭圆方程;(2)首先设椭圆的一般方程,代入两点,即可求得椭圆方程.【小问1详解】由题意知椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的标准方程为.由椭圆的定义知,,即.又c=2,所以.所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设椭圆的方程为(,,且).因为点,在椭圆上,所以代入椭圆的方程得,解得,,所以椭圆的标准方程为.19.已知圆过点,,.(1)求圆的标准方程;(2)过点作圆的切线,求该切线方程.【答案】(1);(2)或.【解析】【分析】(1)设圆的一般方程为,将、、三点坐标代入圆的一般方程,得出关于、、的方程组,解出这三个未知数的值,可得出圆 的一般方程,再将圆的方程化为标准方程即可;(2)分两种情况讨论,一种是切线与轴垂直,得出此时切线的方程为,验证此时该直线与圆是否相切,另一种是切线的斜率存在时,设切线的方程为,利用圆心到切线的距离等于半径,求出的值,综合可得出切线的方程.【详解】(1)设圆的一般方程为,将、、三点坐标代入圆的一般方程,得,解得,所以,圆的一般方程为,圆的标准方程为;(2)当切线与轴垂直时,则该直线的方程为,此时,圆心到直线的距离为,则直线与圆相切;当切线的斜率存在时,设切线的方程为,即.圆心到直线的距离为,解得,此时,切线的方程为,即.综上所述,所求切线的方程为或.【点睛】本题考查圆的标准方程的求解,同时也考查了过圆外一点引圆的切线的方程的求解,解题时不要忽略了对直线垂直于轴的讨论,从而漏掉答案,考查运算求解能力,属于中等题.20.在平面直角坐标系中,已知两圆和,动圆在内部且和圆相内切且和圆相外切,动圆圆心的轨迹为E.(1)求E的标准方程;(2)点P为E上一动点,点O为坐标原点,曲线E的右焦点为F,求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1 )根据题意得到动圆圆心满足的关系式,根据椭圆的定义可得圆心的轨迹为椭圆,从而求出标准方程(2)设点坐标,写出的函数表达式,根据椭圆上点的横坐标的取值范围,即可求出的最小值小问1详解】,设动圆的圆心为,半径为,由题意可得,所以,所以圆心的轨迹为以为焦点的椭圆,,所以,得到椭圆方程为:所以E的标准方程为:【小问2详解】由(1)得:,设所以,因为点P在椭圆上,所以,所以,,二次函数的对称轴为,所以当时,故的最小值为21.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,M为PC中点. (1)求证:PA∥平面MBD;(2)若AB=AD=PA=2,∠BAD=120°,求二面角B-AM-D的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据线面平行判定定理,结合中位线的性质,可得答案;(2)根据题意,建立空间直角坐标系,得到对应点的坐标,求的两平面的法向量,由向量夹角的计算公式,可得答案.【小问1详解】连接AC交BD于点O,连接OM,可知O为AC中点,M为PC中点,所以OM∥PA,且平面,平面,所以PA∥平面MBD. 【小问2详解】由题意可得平行四边形ABCD为菱形,建立如图坐标系,如下图:在菱形ABCD,AB=AD=2,∠BAD=120°,,所以:,所以,,,,设平面MBA的法向量,则,得,令,则则面MBA的法向量, 同理可得:平面MDA的法向量,所以,所以故二面角的正弦值为.22.如图,已知圆,点为直线上一点,过点作圆的切线,切点分别为.(1)直线是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由;(2)若,两条切线分别交轴于点,记四边形面积为,三角形面积为,求的最小值.【答案】(1)是,定点为(2)25【解析】【分析】(1)由题意求出以为圆心,以为半径的圆的方程,与圆联立可得弦所在的直线的方程,可得直线恒过定点;(2)由题意求出面积,的表达式,求出面积之积的表达式,换元,由均值不等式可得其最小值.【小问1详解】,在以点为圆心,为半径的圆上,,即在圆上, 联立得,所以过定点;【小问2详解】,由题意可知直线斜率均存在,设,;得,,,,切线统一记为,即,由得,得两根为,,故,所以,所以,则,记,则当,即时,.
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发布时间:2023-02-03 11:38:07
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