河南省中原名校2022-2023学年高二数学上学期第二次联考试题（Word版含答案）

中原名校2022—2023学年上期第二次联考高二数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线的倾斜角为（）A．51°B．129°C．141°D．149°2．已知，为空间直角坐标系中的两个点，，若，则（）A．0B．C．D．3．若直线l交圆于A，B两点，且弦AB的中点为M（1，0），则l的方程为（）A．B．C．D．4．设，则“直线与直线平行”是“a＝1”的（）A，充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．圆上到直线的距离为1的点的个数为（）A．1B．2C．3D．46．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（） A．1.8cmB．2.5cmC．3.2cmD．3.9cm7．已知空间四边形PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．直线l与圆相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程不可能是（）A．B．C．D．9．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为（4，2，3），则向量在基底下的坐标为（）A．（4，0，3）B．（1，2，3）C．（3，1，3）D．（2，1，3）10．已知三点，，，则的垂心到原点的距离为（）A．B．C．D．11．平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线．若平面上到两条直线，的距离之和为3的点P的轨迹为曲线C，则曲线C围成的图形面积为（）A．B．C．D．12．在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．过点（1，2）作直线l，则满足在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程是______．14．已知，且，其中O为坐标原点，则______．15．如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．16．已知直线与圆交于A，B两点，且的面积为，则实数k的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）已知直线，直线和．（1）求证：直线l恒过定点；（2）设（1）中的定点为P，l与，的交点分别为A，B，若P恰为AB的中点，求m．18．（本题满分12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆交于M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）若，其中O为坐标原点，求．19．（本题满分12分）如图，已知三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，．设，，． （1）试用，，表示向量；（2）若，，，求MN的长．20．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆，A是第一象限内的一点，其坐标为．（1）若，求实数t的值；（2）过A点作斜率为k的直线和圆，圆均相切，求实数k的值．21．（本题满分12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，BC的中点，点P在直线上．（1）证明：；（2）当平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45°时，求平面PMN与侧面的交线长． 22．（本题满分12分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，且．（1）求点P的轨迹方程；（2）若过点A的直线l与点P的轨迹相交于E，F两点，M（2，0），则是否存在直线l，使取得最大值，若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．中原名校2022—2023学年上期第二次联考高二数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案CBABCBBBCBCD1．【解析】斜率，故选C．2．【解析】由点A，B的坐标可得，因为，则，所以，故选B．3．【解析】圆C的标准方程为，圆心为，因为弦AB的中点为，由垂径定理可知，，∵，故，因此，直线l 的方程为，即．故选A．4．【解析】“直线与直线平行”的充要条件是，解得或，所以是必要不充分条件．故选B．5．【解析】由圆，可知其圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离，所以可知有3个，故选C．6．【解析】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，直线，整理为，原点O到直线距离为，故选B．7．【解析】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令PA＝2，则，，，，则，，设异面直线PN和BM所成角为，则．故选B． 8．【解析】由于直线l在x轴、y轴上的截距相等，设直线为：或由于直线l与圆相切，故圆心（2，0）到直线的距离等于半径∴或∴．故直线的方程为：，，，故选B．9．【解析】∵在基底下的坐标为（4，2，3）∴设在基底下的坐标为，则，对照系数，可得：，解得：，∴在基底下的坐标为（3，1，3），故选C．10．【解析】由题意可得，，∴为等边三角形，故的垂心是的中心，又等边的高为，故中心为，故垂心到原点的距离．故选B．11．【解析】设，则P的轨迹方程为，令，则曲线C与交于，， 令，则曲线C与交于，，易知：．故选C．12．【解析】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设，则，，，，则，故，又，，于是，设平面APC的法向量，则有，可取，则点B到平面APC的距离为，当时，点B到平面APC的距离为0，当时，，当且仅当时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为，故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．或14．4 15．16．或13．【解析】若截距相等且不为0，可以设直线方程为：将点（1，2）代入直线方程后可得：，解得：a＝3．此时，直线方程为：；若截距为0，则直线过原点，此时，直线的方程为：．综上：直线l的方程是或．14．【解析】因为，故，即，故，故．15．【解析】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由题可得，，，，所以，，所以，所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是．16．【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径为r＝2，因为 的面积为，可得，解得，所以或；可得或，又由圆的弦长公式可得d＝1或，由点到直线的距离公式：或，解得或．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】（1）由题，可化为，由于，所以，解得，即直线l恒过定点．（2）由（1）知，不妨设，则，满足，解得，代入直线l方程得．18．【解析】（1）由题设，可知直线l的方程为．因为l与C交于两点，所以，解得，所以k的取值范围为．（2）设，．将代入方程，整理得，所以，． ，由题设可得，解得，所以l的方程为y＝x＋1．故圆心在直线l上，所以．19．【解析】（1）由图形知：．（2）由题设条件∵．∴，．20．【解析】（1）因为，，，所以，，因为，所以，又，解得．（2）设直线，则，所以，因为，所以．因为直线l和圆，圆均相切，所以，所以，所以或，即或，当时，得；当时，得，总之，． 将代入得；将代入得，故k的值为或．21．【解析】（1）由题意AB，AC，两两垂直．所以以，，分别作为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，．∵M是的中点，N是BC的中点，∴，．设，∴，则，．则，所以．（2）设，则，，设平面PMN的法向量为，则，即，令x＝3，则，又平面ABC的一个法向量为，平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45°时， ∴，即，解得，此时，如图位置，设E为AB的中点，连接PE，交于点Q，由且所以与全等，则Q为中点．连接QM，EN，由Q，M分别为，中点，则又E，N分别为AB，BC中点，则，所以所以点E，N，M，Q共面，又所以E，N，M，Q，P共面，即面MNP与面NMPQE重合．所以平面PMN与侧面的交线为QM，所以交线长度为QM＝AC＝l．22．【解析】（1）由已知，设，则，平方整理得：，即，所以点P的轨迹方程是．（2）由题意知直线l的斜率一定存在，设直线l的斜率为k，且，，则，联立方程：，∴， 又∵直线l不过点，．∵点到直线l的距离，，∴，∵，，∴当时，取得最大值2，此时，，∵直线l得方程为或．