河南省创新发展联盟2022-2023学年高二数学上学期10月阶段检测试题（Word版含解析）

2022~2023学年上学期创新发展联盟高二阶段检测数学考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章，第二章到2.2节为止.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点，斜率为的直线的点斜式方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根据点斜式方程求解即可.【详解】解：根据题意，经过点，斜率为的直线的点斜式方程为.故选：B2.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】根据，可得，根据数量积的坐标表示即可得解.【详解】解：因为，所以，即，即，解得. 故选：A.3.将直线绕着点逆时针旋转，得到直线，则的斜率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，再求得倾斜角，然后逆时针旋转得到的倾斜角，求得斜率.【详解】直线的斜率为，故倾斜角为，.且绕直线与轴得交点逆时针旋转，得旋转后得直线得倾斜角为，故斜率.故选：C.4.已知点和点，点在轴上，且为直角，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设点，由为直角，得，然后由列式计算即可.【详解】由题意，设点，如图所示，为直角，，由，，解得，所以点的坐标为故选：D 5.已知直线与互相平行，则（）A.2B.C.D.4【答案】C【解析】【分析】由两直线平行可得，注意排除重合这一情况.【详解】解：因为直线与互相平行，所以，解得，经检验，.故选：C.6.已知四棱锥的底面为平行四边形，M，N分别为棱，上的点，，N是的中点，向量，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解.【详解】解：因为，所以，，又，所以.故选：B.7.若直线的图像不经过第二象限，则l的倾斜角的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分直线经过原点和经过一三四象限两种情况即可求得倾斜角的取值范围.【详解】直线，当时，，即直线经过定点，如图所示： 当直线过原点时，斜率，此时倾斜角.当直线过一、三、四象限时，斜率，此时,综上：.故选：B8.在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，根据，求得，再利用向量法求解即可.【详解】解：设，则， ，因为，所以，解得，故，，则，所以异面直线与夹角的余弦值为.故选：A.9.如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，且，M为的中点，则点B到平面的距离为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知数据判断出两两垂直，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，利用公式求出点B到平面的距离. 【详解】因为，且，，由勾股定理可知，，，所以两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则则，即，令可得，则点B到平面距离为.故选：D. 10.在平行六面体中，，，，，，则长为（）A.3B.C.D.5【答案】A【解析】【分析】将用表示，再结合数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：，则，所以的长为.故选：A.11.如图，已知长方体的底面边长均为2，高为4，E，F，G分别是棱，，的中点，则下列选项中正确的是（） A.平面B.平面C.D.三棱锥的体积为【答案】D【解析】【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断ABC即可；根据即可判断D.【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，则，因为，所以与不垂直，故C错误；因为，所以与不垂直，所以与平面不垂直，故A错误；设平面的法向量，则有，可取，因为，所以与平面不平行，故B错误；对于D，连接，则，，因为平面，平面， 所以，又平面，所以平面，又为的中点，所以点到平面的距离为，，所以，故D正确.故选：D.12.已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则的最小值为（）A.B.C.D.0【答案】B【解析】【分析】本题通过基底法，得到，再通过立体图得到的值，以及的最小值，最终代入数据得到最小值.【详解】如图为棱长为8的正方体外接球的一条直径,为球心，为正方体表面上的任一点 则球心也就是正方体的中心，所以正方体的中心到正方体表面任一点的距离的最小值为正方体的内切球的半径,它等于棱长的一半，即长度为4，,的长为正方体的对角线长，为，我们将三角形单独抽取出来如下图所示：所以的最小值为.故选：B.【点睛】将空间向量知识与正方体结合考察最值问题，难度较大，需要一定空间想象能力以及向量基底法的熟练运用，平时要多加训练.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线在两坐标轴上的截距之和为______.【答案】【解析】【分析】根据截距的定义分别求出两坐标轴上的截距即可得解. 【详解】解：令，则，令，则，所以直线在两坐标轴上截距之和为.故答案为：.14.若直线与直线关于轴对称，则______.【答案】【解析】【分析】先判断直线的的位置，再由两条直线关于轴对称得到两条直线的倾斜角互补，且与轴交于同一点，进而由已知条件算出的值.【详解】直线的斜率，与轴交于点.直线与直线关于轴对称直线与直线的倾斜角互补，且与轴相较于同一点，解得，则.故答案为：.15.已知空间有三点，，，若直线上存在一点M，满足，则点M的坐标为______.【答案】【解析】【分析】设，根据空间向量的坐标表示求得点的坐标，再根据，可得数量积为0，从而可求出，即可得解.【详解】解：设， 由，得，故，则，因为，所以，解得，所以.故答案为：.16.如图，圆锥的母线长是4，底面圆半径是2，S为顶点，O为底面中心，M为线段上的一点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若，点P运动形成的轨迹长度为，则______.【答案】【解析】【分析】过点作交于，过作交圆锥底面圆周为，则平面，所以，即点轨迹为线段，设，由求出，再由求出，即可求出的长.【详解】过点作交于，过作交圆锥底面圆周为，则平面，所以，即点轨迹为线段，因为是边长为的等边三角形，所以，设.因为，所以，解得， 所以，解得：.则.故答案为：.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，，三点.（1）若直线的倾斜角为135°，求的值.（2）是否存在，使得三点共线？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，使得三点共线，【解析】【分析】（1）根据题意得，再解方程即可得答案；（2）根据三点共线时，列方程求解即可.【小问1详解】解：因为，，直线的倾斜角为135°所以，，解得故的值为【小问2详解】解：因为，，三点. 所以，当三点共线时，，即，解得所以，存在，使得三点共线，18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点.（1）用，，表示；（2）若底面是正方形，且，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量基本定理结合空间向量线性运算即可得解；（2）将用，，表示，再根据向量数量积的运算律计算即可得解.【小问1详解】解：；【小问2详解】解：， 所以.19.如图，在直三棱柱中，，，.（1）证明：.（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，从而可证平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以，因为平面，所以平面， 又平面，所以；【小问2详解】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为，所以为的中点，在中，，则，则，，设面的法向量，平面的法向量，则有，可取，同理可取平面的法向量，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20.如图，在正方体中，E，F，G，H分别是，，，的中点. （1）证明：平面平面.（2）若正方体的棱长为1，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，分别求出两平面的法向量，证明两法向量垂直即可；（2）结合（1），利用向量法求解即可.【小问1详解】证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，则，设平面的法向量，平面的法向量，则有，可取，同理，故，所以，所以平面平面；【小问2详解】解：由（1）可得平面的法向量，，设直线与平面所成的角为，则，所以点到平面的距离为.21.如图，在四棱锥中，平面，，，过的平面与，分别交于点，连接，，.（1）证明：.（2）若，，平面平面，求平面与平面 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，进而根据线面平行得线线平行；（2）根据题题意，结合面面垂直的性质定理得，进而得为中点，为中点，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【小问1详解】证明：因为，平面，平面，所以，平面，因为，过的平面与，分别交于点，即平面，平面平面，所以，，所以【小问2详解】解：因为平面，，所以两两垂直，即因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为在中，， 所以为中点，因为，所以为中点，故以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以所以，，设平面的一个法向量为，则，即，故令得，所以，因为平面，为平面的法向量，所以，.所以平面与平面夹角的余弦值为.22.如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为O，，矩形为该圆柱的轴截面，，点E在底面圆周上，点G为的中点. （1）若，试问线段上是否存在点F，使得?若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由.（2）求直线与平面夹角的正弦值的最大值.【答案】（1）存在，为线段的中点（2）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设，设，根据，可得，求出，即可得出结论；（2）设，利用向量法求解即可.【小问1详解】解：假设存在，如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则，则，不妨设，则，因为，所以，解得，所以当为线段的中点时，； 【小问2详解】解：设，则，，则，设为平面的一个法向量，则有，可取，设直线与平面夹角为，则，则当时，，所以直线与平面夹角的正弦值的最大值为.