贵州省六盘水市第二中学2022-2023学年高二数学上学期9月月考试题（Word版含解析）

六盘水市第二中学2022-2023学年度高二（上）9月月考数学试卷2022.9考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔花答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为（　　）A.－1＋iB.1－iC.－5－5iD.5＋5i【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义即可求解.【详解】因为由已知＝（2，3），＝（－3，－2），所以，所以对应的复数为5＋5i；故选：D.2.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】先根据补集概念求出，再由交集定义即可求出.【详解】因为，所以，所以.故选：B.3.若x是实数，则下列事件是不可能事件的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，故对错误选项使用特殊值法即可，对正确选项则需要证明.【详解】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，则对于A，令，则，故选项A不是不可能事件，故A错误；对于B，由于，故不存在实数x使得，即选项B是不可能事件，故B正确；对于C，令，则，故选项C不不可能事件，故C错误；对于D，令，则，即，故选项D不是不可能事件，故D错误；故选：B.4.的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可. 【详解】原式.故选：A5.掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第100次出现正面向上的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据正面向上的概率为不因抛掷的次数而变化即可得结果.【详解】投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为，它不因抛掷的次数而变化，因此抛掷一次正面向上的概率为，抛掷第100次正面向上的概率还是．故选：A.6.已知样本6，7，8，m，n的平均数是7，标准差是，则等于（）A.108B.100C.106D.105【答案】C【解析】【分析】根据平均数以及方差的计算公式即可求解.【详解】根据平均数及方差公式，可得，即，∵标准差是，∴方差为2．∴，即，，则．故选：C7.一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（）A.2海里B.3海里C.4海里D.5海里【答案】A【解析】 【分析】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，然后在中利用余弦定理求解即可.【详解】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，由题意知，，．由余弦定理得，所以，化简得，解得或（舍去），所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，故选：A8.有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是且；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，－个错误，则他研究的函数是（）A.①B.②C.③D.④【答案】B【解析】【分析】分析每个幂函数的奇偶性、值域、单调性，根据题意，选择满足题意的即可.【详解】①，定义域为关于原点对称.因为，故为奇函数；因为，故其值域为：且； 其在是单调减函数.在给出的函数性质中，有两个错误，故①不是研究的函数.②，定义域为关于原点对称.因为，故其在定义域是偶函数；因为，故其值域为；其在单调增函数.在给出的函数性质中，有两个正确，故②是研究的函数.③，定义域为，关于原点对称.因为，故其在定义域是奇函数；因为，故其值域为；其在上是单调增函数.在给出的函数性质中，有两个错误，故③不是研究的函数.④，其定义域为，关于原点对称.因为，故其是奇函数；因为，故其值域为；其在定义域上单调递增.在给出的函数性质中，有两个错误，故④不是研究的函数.综上所述，研究的函数是②.故选：.二、选择题：本题共4小题：每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列结论错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解平行垂直以及模长，根据选项即可逐一判断.【详解】对于选项A，，则，则，即选项A错误；对于选项B，，则，则，即选项B正确；对于选项C，，则，解得，即选项C错误；对于选项D，，即，则，即选项D正确，故选：AC．10.将函数图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的值可能为()A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据图象平移求出平移后函数解析式，根据正弦型函数的对称性即可求出的值．【详解】平移后得到函数解析式为，∵g(x)图象关于原点对称，即g(x)是奇函数，∴，∴，∴．当k＝0时，φ＝；当k＝1，φ＝．故选：BD．11.已知事件，，且，，则下列结论正确的是（）A.如果，那么，B.如果与互斥，那么，C.如果与相互独立，那么， D.如果与相互独立，那么，【答案】BD【解析】【分析】A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，，，，即可判断.【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.12.如图，在三棱柱中，已知点G，H分别在，上，且GH经过重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且B、C、G、H四点共面，则下列结论正确的是（）A.B.平面 C.D.平面平面【答案】ABC【解析】【分析】对于A，由面面平行的性质结合三角形中位线定理判断，对于B，由线面平行的判定定理判断，对于C，由三角形中位线定理和三角形重心的性质分析判断，对于D，通过判断与的位置关系进行判断.【详解】对于A，因为平面∥平面ABC，平面平面，平面平面，所以∥，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以∥，，所以∥，所以A正确，对于B，由选项A可知∥，因为平面，平面，所以∥平面，所以B正确，对于C，因为∥，∥，所以∥，因为GH经过的重心，所以，因为，所以，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，，所以，因为∥，所以四边形为梯形，且与为腰，所以与必相交，因为平面，平面，所以平面与平面相交，所以D错误，故选：ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.写出一个与向量的夹角为45°的向量__________．（答案不唯一写出一个即可）【答案】（1，0）（答案不雅一）【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算求夹角即可. 【详解】设，则故可取故答案为：14.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.6．现采用随机模拟的方法计算该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标．因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：57270623714098576347437986366013141746980371684326768012601136619597742467104203据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为______．【答案】0.5##【解析】【分析】利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：5727，9857，6347，4379，8636，4698，6843，2676，9597，7424共10组随机数，所以所求概率为．故答案为：0.515.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为__________． 【答案】##【解析】【分析】根据正八面体的特征可知内切球的球心为，进而根据等体积法即可求解半径.【详解】设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示，连接AC和BD交于点O，因为，，所以，，又AC和BD交于点O，平面ABCD，所以平面ABCD，所以O为正八面体的中心，所以O到八个面的距离相等，距离即为内切球半径，设内切球与平面EBC切于点H，所以平面EBC，所以OH即为正八面体内切球半径，所以，因为正八面体的棱长为2，所以，，，所以，，因为，，所以，即，所以正八面体内切球的表面积为：．故答案为：16.已知，若方程有四个不同的实数根，则的取值范围是__________．【答案】 【解析】【分析】利用函数图像的平移对称变换作出及的图像，结合图像，进而可知，由此可推得，，，，再利用二次函数的单调性即可得到的范围，进而得到的取值范围.【详解】先将的图像关于轴翻折得到的图像，再保留在轴上方的图像，同时将在轴下方的图像向上翻折，即可得到的图像，再画出的图像，由此得到的图像，如图，由方程有四个不同的实数根，得函数的图像与直线有四个不同的交点，由图可知，当两图像有四个不同的交点时，；设与交点的横坐标为，不妨设，则，，则由得，所以，即；设与的交点的横坐标为，，不妨设，则，，且，所以，由二次函数的单调性及，易知，则．故答案为：..四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程 及演算步骤．17.在锐角中，A，B，C对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到，根据△ABC是锐角三角形求出角C的值；（2）根据余弦定理求出，再利用面积公式求出答案.【小问1详解】由及正弦定理得．因为，故，又△ABC是锐角三角形，所以；【小问2详解】由余弦定理得:，解得：或（舍去）．故．18.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过证明平面来得到面面垂直；（2）求出的长度，直接根据三棱锥的体积可得结果.【详解】（1）证明：在三棱柱中，底面.所以.又因为，所以平面.所以平面平面.（2）解：因为，，，所以. 所以三棱锥的体积.19.已知函数．（1）求的最小正周期和对称轴：（2）当时，求的最大值和最小值．【答案】（1），（2）最大值为2，最小值为．【解析】【分析】（1）由辅助角公式，由周期公式可求得周期，再由，可求出对称轴方程，（2）由，得，利用正弦函数的性质可求出函数的最值.【小问1详解】．的最小正周期为．令，，解得，，故对称轴为，．小问2详解】当时，有，可得，故， 则的最大值为2，最小值为．20.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估计总体400名学生中分数小于70的人数；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（3）根据该大学规定，把百分之15的学生划定为不及格，利用（2）中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考.【答案】（1）160（2）20（3）55分【解析】【分析】（1）根据直方图先求分数不小于70的频率，然后得到分数小于70的频率，然后可得；（2）先计算分数不小于50的频率，结合已知再求分数在区间[40，50）内的人数，然后可得频率，再由频率估算可得；（3）根据百分位数的概念可得.【小问1详解】根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为（0.02＋0.04）×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.【小问2详解】根据题意，样本中分数不小于50的频率为（0.01＋0.02＋0.04＋0.02）×10＝0.9，分数在区间[40，50）内的人数为100－100×0.9－5＝5.所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为400×＝20.【小问3详解】 设分数的第15百分位数为x，由（2）可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以x∈[50，60），则0.1＋（x－50）×0.01＝0.15，解得x＝55，所以本次考试的及格分数线为55分.21.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；（II）求事件B发生的概率；（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率．【答案】（I）||=36，P（A）=（II）（III）【解析】【分析】（I）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（II）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（III）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件与事件至少有一个发生的概率.【详解】（I）所有可能的基本事件为：共种.其中“两数之和为”的有共种，故.（II）由（I）得“两数之和是的倍数”的有共种，故概 率为.（III）由（I）“两个数均为偶数”的有种，“两数之和为”的有共种，重复的有三种，故事件与事件至少有一个发生的有种，概率为.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算公式，考查列举法求解古典概型问题，属于基础题.22.函数.对任意的，恒有成立.（1）证明：；（2）若对满足题设条件的任意，不等式恒成立，求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式、基本不等式进行证明即可；（2）根据（1）中的结论，利用换元法、构造函数法、分类讨论思想进行求解即可.【详解】（1），要想该不等式恒成立，只需，当且仅当时取等号，即时取等号；（2）由（1）可知：，当时，由（1）可知：，，由，令， ，设，因为，所以函数在时，是单调递增函数，故，要想不等式恒成立，只需；当时，，或，显然不等式恒成立，综上所述：的最小值为.