浙江省强基联盟2022-2023学年高一数学上学期实验班10月联考试题（Word版含解析）

C.AtaTVstudio.强基联盟高一数学2022学年第一学期实验班10月联考试卷考生须知：1．全卷分试卷和答题卷．考试结束后，将答题卷上交．2．试卷共4页，有4大题，22小题．满分100分，考试时间120分钟．3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效．一、单项选择题：本题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得到，根据题意得到，再由集合交集的概念得到结果.【详解】由集合，解不等式得到：，又因为，根据集合交集的概念得到：，故C正确.故选：C.2.已知函数，则的值为（）．A.B.2C.D.【答案】D【解析】【详解】， ．故选：D.3.已知函数为奇函数，则α的值可能为（）．A.0B.C.D.【答案】D【解析】【详解】取x=0，f(0)=cosα+cos2α，对于选项A，，对于选项B，，对于选项C，，对于选项D，，只有D选项符合奇函数的性质．故选：D.4.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的性质及指数函数的性质，即得.【详解】由题得，，，所以. 故选：A.5.已知定义在实数集上的函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数是偶函数，且在上单调递增，可得函数在上单调递减，从而可得不等式等价于或，从而可得出答案.【详解】解：因为函数是偶函数，且在上单调递增，所以函数在上单调递减，又因，所以，不等式等价于或，即或，所以或，即不等式的解集为.故选：B.6.已知正实数，满足，则的最大值为（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】由等式可以得到的表达式，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】由得，由，为正实数，得，所以，令，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号民，时等号成立.所以的最大值为，故选：D.7.已知，为锐角，且，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】运用降幂公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可.【详解】由，设，得：，化简得：，即，故选：A8.已知函数为上的奇函数，当时，若函数满足 且，有6个不同的解，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，作出函数的图象，结合函数图象讨论出结论，若满足有6个不同的解，则函数有三个根，且必须满足，，，从而得到的取值范围．【详解】因为函数为上的奇函数，当时，令，则，则，又所以，设，作出函数的图象，当时，则函数有三个根，且，，又图像如图： 当时，即无解，当时，即有4个解，当时，即有2个解，方程恰好有6个不同的解，同理当时，函数有一个根，此时无解；当时，函数有三个根如图，且，，；此时结合函数图像，无解，和均有2个解，共4个解，不满足题意； 当时，函数有1个根此时只有2个解，不满足题意；综上，选项都不符合，选项符合，故选：二、多项选择题：本题共4个小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分．9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.，B.，为偶数C.所有菱形的四条边都相等D.是无理数【答案】AC【解析】【分析】BD不是全称量词命题，不合题意，AC为全称量词命题且可证得为真命题.【详解】对A，是全称量词命题，，，故是真命题，故A正确；对B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，根据菱形性质可得四条边都相等，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确；故选：AC．10.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车， 是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（）A.点P第一次达到最高点，需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C.在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米D.点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为【答案】ABD【解析】【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项.【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确；点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确；令，解得：，，当时，（s），B选项 正确；，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误；故答案为：ABD11.若a，，，则下列说法正确的有（）A.的最小值为4B.的最大值为C.的最小值为D.的最大值是【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式依次判断即得.【详解】由a，，，可得，对于A，，当且仅当，即取等号，所以，同理，故，故A错误；对于B，∵，当且仅当，即时取等号，∴，即的最大值为，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，故C正确；对于D，由题可得，，∴，而，当且仅当，即时取等号，∴，即的最大值是，故D正确.故选：BCD.12.已知实数、、满足，则下列说法正确的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】令，则，，，利用作差法可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式结合基本不等式可判断D选项.【详解】令，则，，且，，．对于A，，所以A错误：对于B， ，即，所以B正确；对于C，，所以C正确：对于D：，所以D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共4个小题，每小题3分，共12分．13.“，使不等式成立”为假命题，则的取值范围________.【答案】【解析】【分析】根据特征命题的否定是全称命题，结合绝对值的性质进行求解即可.【详解】因为“，使不等式成立”为假命题，所以该命题的否定是真命题，该命题的否定为：“，使不等式恒成立”因为，所以，故答案为.故答案为：14.已知向量，，则在上的投影向量坐标为___________.【答案】【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积定义，计算投影即可得到答案【详解】向量，， 则在上的投影为又在轴上，故在上的投影向量坐标为.故答案：15.己知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若实数，满足，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，从而得到，，，即可得到答案.【详解】，因为实数，满足，所以所以，，解得，，，，解得，，所以，，.所以.综上：.故答案为： 16.已知函数恰有3个零点，则的取值范围是___________.【答案】##【解析】【分析】先求出函数在区间上的4个零点，然后结合已知及分段函数的定义，分两种情况讨论即可得答案.【详解】解：令，得；令，得或，即或，又，所以或或或，因为恰有3个零点，所以，当时，有3个零点，，；当时，有3个零点，，；所以的取值范围是，故答案为：.四、解答题：本题共6个小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程成验算步骤．17.化简求值： （1）；（2）已知，求的值．【答案】（1）9（2）-3【解析】【分析】（1）利用指数、对数运算性质求解即可.（2）首先将原式化简为，再分子、分母同时除以即可得到答案.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式．18.已知平面向量，满足，，，若，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求.【答案】（Ⅰ）-10；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件，结合向量的数量积的运算律求解即可；（Ⅱ）首先求出，再利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解．【详解】解：（Ⅰ）平面向量，满足，，，，．．（Ⅱ）因为，．所以，．所以．19.已知函数． Ⅰ若的解集为，求实数a，b的值；Ⅱ当时，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】ⅠⅡ．【解析】【分析】Ⅰ根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，可将问题转化为b，3是一元二次方程的两根，再根据韦达定理列方程组可解得；Ⅱ不等式恒成立，分离变量，转化为求可得．【详解】解：Ⅰ因为即的解集为，所以b，3是一元二次方程的两根，，解得，Ⅱ当时，若关于x的不等式恒成立，即在上恒成立，令，，则，，当且仅当时取等．故．【点睛】一元二次不等式的问题可转化为二次函数的图像、二次方程根的问题来解决，不等式恒成立问题常见解法为分离变量法，然后转化为求最值；有时也可以分情况讨论解决问题．20.已知函数的最大值为.（1）求的最小正周期以及实数的值； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若，求的值.【答案】（1），（2）或2．【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，再结合函数最大值求解即可.（2）首先根据题意得到，根据得到，再利用同角三角函数关系求解即可.【小问1详解】所以，解得，的最小正周期．【小问2详解】因为，所以，所以，所以，解得或2．21对于函数. （1）若，且为奇函数，求a的值；（2）若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；（3）设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义可得；（2）由题可得，分类讨论可得；（3）由题可得，进而可得对任意的恒成立，然后求函数的最小值即得.【小问1详解】∵，∴，又为奇函数，∴，∴，对定义域内任意恒成立， ∴，解得，此时，定义域为符合奇函数的条件，所以；【小问2详解】方程，所以，由①可得，，即，当时，方程有唯一解，满足②，所以符合条件；当时，方程有两相等解，满足②，所以符合条件；当且时，方程有两不等解，若满足②，则，若满足②，则，所以当时方程恰有一个实根；综上，实数的取值范围为；【小问3详解】令，则在上为减函数，在上为增函数，∴函数在上为减函数， 当时，满足，则，∴，即对任意的恒成立，设，又，所以函数在单调递增，所以，∴.22.已知函数.（1）若函数的定义域为，且，求实数的取值范围；（2）当时，求证：对于定义域内的实数，都有.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据对数型函数的性质，结合数轴结合思想进行求解即可；（2）根据函数的单调性，结合分类讨论思想进行求解即可.【小问1详解】由于，而不等式的解集即为函数的图象位于的图象上方对应的的范围.画出对应的图象，如图所示.若，则，从而.故实数的取值范围为. 【小问2详解】，则问题等价于：对任意的，，恒有当时，关于单调递增，从而由于，则（端点为方程的两根.）当时，，则设，则，显然当时，，成立.当时，，则设，则，显然当 时，，成立.综合上述，对于定义域内的实数，都有.【点睛】关键点睛：利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键.