湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一数学上学期第一次月考试题（Word版含解析）

湖南师大附中2022-2023学年度高一第一学期第一次大练习数学时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（）A．矩形B．平行四边形C．菱形D．梯形【分析】利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的集合的元素个数即可得到结果．【解析】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素；满足题意的可能是梯形．故选：．2．集合，，则（）A．B．C．D．【分析】先分别求出集合，，由此能求出．【解析】解：集合，，．故选：．3．下列各式正确的个数是（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1B．2C．3D．4【分析】利用集合之间的关系是包含与不包含、元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系及其的意义即可判断出正误．【解析】解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此，1，，不正确，应该为，1，；②，1，，1，，正确； ③，1，，正确；④不含有元素，因此；⑤，与的元素形式不一样，因此不正确；⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，因此不正确．综上只有：②，③正确．故选：．4．已知a，b，，那么下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若且，则D．若且，则【分析】根据不等式的性质，对、、、四个选项通过举反例进行一一验证．【解析】解：．若，则（错，若，则不成立；．若，则（错，若，则不成立；．若且，则（对，若且，则．若且，则（错，若，则，∴不成立．故选：．5．已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】命题“，，”为真命题等价于在，上有解，构造函数求最大值代入极即可．【解析】解：命题“，，”为真命题等价于在，上有解，令，，，则等价于（1），，故选：．6．不等式成立的一个必要不充分条件是（） A．B．C．D．【分析】求出不等式的解集，根据题意判断符合条件的选项即可．【解析】解：解不等式等价于解得，，∵所以选项是充要条件，选项是充分不必要条件，选项是必要不充分条件，选项是既不充分也不必要条件．故选：D．7．若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得的最小值为9，据此分析可得答案．【解析】解：根据题意，，则，则，当且仅当时等号成立，则的最小值为9，若不等式对恒成立，即式恒成立，必有恒成立，故实数的最大值为9；故选：．8．在R上定义运算：．已知时，存在x使不等式成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由⊕的定义，化简可得当时，存在使不等式成立，由二次函数的最值求法可得在，的最大值，再由二次不等式的解法，可得所求范围．【解析】解：⊕，即为，当时，存在使不等式成立， 等价为，由，可得时，取得最大值，且为6，所以，解得，故选：．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知集合A={1，2，}，B={1，}，若，则a的可能取值为（）A．B．0C．1D．2【分析】利用集合交集的定义，得到，再利用子集的定义求解即可．【解析】解：因为，又集合，2，，，，所以或，解得或或，当时，不满足集合的互异性，所以或．故选：BD．10．若，，则下面四个不等式成立的有（）A．B．C．D．【分析】利用不等式的性质求解即可．【解析】由可得，∴，故A正确；由可得，且，∴，故B不正确；由于，∴，故C正确；由于，且，故D正确；故选：ACD．11．下列说法正确的有（）A．命题“若，则”的否定是“若，则”B．命题“，”的否定是“，” C．命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为D．命题“，”是真命题，则实数m的取值范围为【分析】直接利用命题的否定，命题真假的判定，集合间的关系判断、、、的结论．【解析】命题“若，则”为全称量词命题，它的否定为存在量词命题“，则，故A不正确；命题“，”的否定是“，”，故B正确；“，”是假命题，则它的否定“，”是真命题，则有，且△，解得，故C正确；“，”是真命题，则，又．则，解得，故D正确．故选BCD．12．已知，，，则的可能取值有（）A．B．C．D．【分析】先得到，再分类讨论，并利用基本基本不等式求出即可．【解析】解：，，，，且，①当时，则，当且仅当，即时取等号， ②当时，则，当且仅当，即时取等号，综上，，故选AB．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“全等三角形的面积相等”的否定是____________________________．【分析】因为原命题为全称命题，结合全称命题的否定为特称命题求解．【解析】解：原命题：全等三角形的面积一定都相等，为全称命题，它的否定为：存在两个全等三角形的面积不相等，故答案为：存在两个全等三角形，它们的面积不相等14．已知，则的最大值是________．【分析】由函数（）变形为，再由基本不等式求得从而有得到结果．【解析】解：当且仅当，即时取等号故的最大值是故答案为：15．已知函数．若对于，恒成立，则实数m的取值范围为________．【分析】由已知可得当，时，再结合二次函数性质求的取值范围．【解析】由可得， 由已知对于，恒成立，所以当，时，，当时，函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，所以当时，取最大值，最大值为，所以，由此可得，当时，函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，所以当时，取最大值，最大值为，所以，由此可得，当时，对于，恒成立，综上，，所以实数的取值范围为．故答案为：16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；（2）该小组人数的最小值为________．【分析】①设男学生女学生分别为，人，若教师人数为4，则，进而可得答案；②设男学生女学生分别为，人，教师人数为，则，进而可得答案；【解析】解：①设男学生女学生分别为，人，若教师人数为4， 则，即，即的最大值为7，的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为，人，教师人数为，则，即即最小为3才能满足条件，此时最小为5，最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本大题满分10分）设a，，集合P={1，}，Q={，}，若P=Q．（1）求的值；（2）集合，，若，求实数c的取值范围．【分析】（1）利用集合元素相等，可得、的值，从而求的值；（2）利用集合之间的关系求解．【解析】解：（1）设，，，，，，若，则，，故；（2）由（1）可知：，则在上恒成立，记，则只需要，．18．（本大题满分12分）（1）设，试比较与的大小； （2）已知a，b，x，y都是正数，且，，求证：．【分析】（1）方法一：利用作差法，即可比较两式的大小；方法二：根据题意，利用作商法，也可以比较两式的大小；（2）利用作差法，即可证明．【解析】（1）解：方法一：；因为，所以，，所以，所以；方法二：，所以，，，所以，；所以，所以；（2）证明：，因为且，，所以；又因为，所以，所以．19．（本大题满分12分）对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，记集合 的元素个数为．定义变换T，变换T将集合A变换为集合．（1）若A={0，1，2}，求，；（2）若集合A={，，，…，}，…，，证明：“”的充要条件是“…”．【分析】（1）根据定义直接进行计算即可；（2）根据充分条件和必要条件，结合等差数列的性质进行证明．【解析】解：（1）若集合，1，，则（A）（A），1，2，3，．（2）令，，．不妨设．充分性：设是公差为的等差数列．则，且．所以共有个不同的值．即（A）．必要性：若（A）．因为，，2，，．所以（A）中有个不同的元素：，，，，，，，．任意的值都与上述某一项相等．又，且，，2，，．所以，所以是等差数列，且公差不为020．（本大题满分12分）已知．（1）当，时，求的最大值；（2）当，时，若不等式恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）对等式左边直接使用基本不等式即可求出的最大值；（2）先由基本不等式求出的最小值，然后由不等式恒成立转化为，解二次不等式可求．【解析】解：（1）∵，，．∴当且仅当时取等号，即，时取等号，所以的最大值为；（2）因为，，，即，所以，当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值，因为不等式恒成立，所以，解得，，∴实数m的取值范围：为．21．（本大题满分12分）党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫， 计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式．（1）写出利润（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本）（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入－成本，分，两种情况讨论，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．【解析】解：（1）当时，，当时，，故．（2）当时，，故当时，取得最大值，且最大值为128，当时，，当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立，此时取得最大值，且最大值为136，由于，所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元． 22．（本大题满分12分）已知二次函数．（1）若的解集为，解关于x的不等式；（2）若对任意，恒成立，求的最大值；（3）已知，，若对于一切实数x恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值．【分析】（1）依题意，得，，，，故，解之即可；（2）由△，，得到，再利用基本不等式可求得的最大值；（3）依题意，可得，即，由存在，使得成立可得△，利用基本不等式即可求得的最小值．【解析】解：（1）的解集为，，，，，，解集为；（2）对任意，恒成立，△，即，又，，故，，当，时取“”， 的最大值为1，（3）由对于一切实数恒成立，可得即，由存在，使得成立可得△，△，，，当且仅当时，等号成立，∴的最小值为8．