河北省张家口市张垣联盟2023-2024学年高二上学期12月阶段测试数学试卷（Word版附解析）

2023-2024学年第一学期12月高二阶段测试卷数学考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点在抛物线上，则点到抛物线的准线的距离为（）A.2B.4C.6D.82.已知两点到直线的距离相等，则（）A.1B.-5C.1或-5D.1或-83.双曲线经过一､三象限的渐近线的倾斜角为（）A.B.C.D.4.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A.或B.C.或D.5.四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱中点，若，则（）A1B.2C.D.6.在抛物线上有三点.为其焦点，且为的重心，则 （）A.6B.8C.10D.127.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）A.B.C.D.8.已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（）AB.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对抛物线，下列描述正确的是（）A.开口向下，准线方程为B.开口向下，焦点为C.开口向左，焦点为D.开口向左，准线方程为10.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，若椭圆上有4个点使得，则的离心率可以是（） A.B.C.D.11.若是双曲线上一点，为的左､右焦点，则下列结论中正确的是（）A.双曲线的实轴长为B.若，则三角形周长为C.的最小值是D.双曲线的焦点到渐近线的距离是212.已知点分别在圆和圆上.则（）A.的最小值为3B.的最大值为8C.若成为两圆的公切线，方程可以是D.若成为两圆公切线，方程可以是三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的焦点为，点在双曲线上，若，则__________.14.已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为__________.15.已知抛物线，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上的另一点，则的坐标为__________.16.几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.求满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）经过点，且与双曲线具有相同的渐近线；（2）与椭圆共焦点，且过点.18.菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.（1）求边所在直线的方程；（2）求对角线所在直线的方程.19.数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，且的欧拉线的方程为，若外接圆圆心记为.（1）求圆的方程；（2）过点引圆的切线，求切线的长.20.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合.（1）求的方程；（2）若直线与相交于两点，求.21.如图，四棱锥中，底面是矩形，，且.（1）求证：平面；（2）若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由.22.以双曲线的顶点为焦点，离心率倒数的平方为离心率作一椭圆. （1）求的标准方程；（2）已知为的左焦点，过的直线与椭圆交于两点（在上方），且，若，求斜率的取值范围. 2023-2024学年第一学期12月高二阶段测试卷数学考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点在抛物线上，则点到抛物线的准线的距离为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】先根据点在抛物线上，求出；再根据抛物线的定义即可得出答案.【详解】因为在抛物线上，所以，解得，故抛物线的准线为，所以点到抛物线的准线的距离为.故选：B.2.已知两点到直线的距离相等，则（）A.1B.-5C.1或-5D.1或-8【答案】C【解析】【分析】利用点到直线的距离求解.【详解】因为两点到直线的距离相等，所以或，故选：C.3.双曲线经过一､三象限的渐近线的倾斜角为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求得双曲线的渐近线，进而求得正确答案.【详解】令，得，经过一､三象限的渐近线方程为，其倾斜角为.故选：B4.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A.或B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由求解.【详解】解：由题意得，解得.故选：B.5.四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则（）A.1B.2C.D.【答案】A【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算由表示求解.【详解】解：由题意，，又，不共面，则.故选：A.6.在抛物线上有三点.为其焦点，且为的重心，则（）A.6B.8C.10D.12【答案】A【解析】【分析】先根据为的重心，得；再设出的坐标，表示出的坐标，得；最后根据抛物线的定义即可得出结果.【详解】为的重心故.设抛物线上的点的坐标分别为抛物线为其焦点，. ，即点在抛物线上，，，.故选：A.7.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用作差法、中点坐标公式及斜率公式求出；再根据点斜式方程即可解答.【详解】设，则.两式作差可得，即.又是的中点，则，，即.，直线的方程为，即.经检验，符合题意.故弦所在直线的方程为：.故选：B. 8.已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解.【详解】由直线，变形可得，由，解得，可得直线恒过定点，则，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为.故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对抛物线，下列描述正确的是（）A.开口向下，准线方程为B.开口向下，焦点为 C.开口向左，焦点为D.开口向左，准线方程为【答案】AB【解析】【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断.【详解】由题设，抛物线可化为，开口向下，焦点为，准线方程为.所以AB正确，CD错误.故选：AB.10.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，若椭圆上有4个点使得，则的离心率可以是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】设，则，根据，可得，结合基本不等式可得，结合离心率公式及已知条件即可得解.【详解】设，依题意有①，又，所以②， 易知，所以②除以①的平方得，，所以，即或（舍去），当且仅当时取等号，这时有2个点使得，故舍去，又椭圆的离心率，所以.故选：CD.11.若是双曲线上一点，为的左､右焦点，则下列结论中正确的是（）A.双曲线的实轴长为B.若，则三角形的周长为C.的最小值是D.双曲线的焦点到渐近线的距离是2【答案】BC【解析】【分析】由双曲线方程可直接得到；由关系和向量垂直得到，再确定周长即可；由双曲线的意义可直接确定C；由渐近线方程和点到直线的距离可确定D.【详解】对于，由双曲线得，则，即，故双曲线实轴长为，故错误；对于，由，即，设，因为，则，所以，解得，则的周长为，故B正确；对于，易知，故C正确；对于，由选项知，双曲线焦点为，渐近线为，即，所以焦点到渐近线的距离为，故错误. 故选：.12.已知点分别在圆和圆上.则（）A.的最小值为3B.的最大值为8C.若成为两圆的公切线，方程可以是D.若成为两圆的公切线，方程可以是【答案】BC【解析】【分析】先判断两圆的位置关系；再结合图形即可判断选项A、B；采用验证法，根据圆心到直线的距离可判断选项C、D.【详解】圆的圆心坐标，半径，圆，即的圆心坐标，半径.圆心距，所以两圆外离.又在圆上，在圆上则的最小值为，最大值为，故选项A错误，选项B正确；因为到直线的距离，M到直线的距离，所以是两圆的公切线，故选项C正确； 因为到直线的距离，所以是圆的切线，但到直线的距离，故选项D错误.故选：BC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的焦点为，点在双曲线上，若，则__________.【答案】21【解析】【分析】先根据双曲线方程得；再根据双曲线的定义列出关系式求解即可.【详解】由，得，得.因为，所以5或，解得（舍去）或.故答案为：21.14.已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为__________.【答案】【解析】【分析】根据两圆外切时半径与圆心的关系得出，即可得出，根据双曲线的定义得出点的轨迹为双曲线的上支，设出其方程为，根据双曲线的定义列式解出与，即可得出答案.【详解】当圆与圆均外切时，，所以， 则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为，则，则，所以轨迹方程为.故答案为：.15.已知抛物线，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上的另一点，则的坐标为__________.【答案】【解析】【分析】由入射光线平行于轴得点坐标，再由反射光线过焦点，求出反射光线所在直线方程，与抛物线联立求出的坐标.【详解】光线平行于轴,从点射入，则有，根据抛物线性质，直线过抛物线焦点，抛物线的焦点为，直线的斜率为，则直线的方程为，代入抛物线的方程解得或，可得的坐标为.故答案为：16.几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】##【解析】【分析】作出辅助线，根据二面角的大小得到，从而求出，得到离心率.【详解】如图所示：切面与底面的二面角的平面角为，故，设圆半径为，则，设椭圆的长轴长及短轴长分别为，故，故，所以.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.求满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）经过点，且与双曲线具有相同的渐近线；（2）与椭圆共焦点，且过点.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同渐近线的双曲线方程的关系设要求双曲线的标准方程为，即可代点求得，得出其方程.（2）根据已知得出焦点坐标为，在轴上，设出所求方程，根据双曲线定义列式解出，即可得到答案.【小问1详解】因为所求双曲线与双曲线具有相同的渐近线，故设要求双曲线的标准方程为，代入点，得，则双曲线的方程为【小问2详解】椭圆的焦点坐标为，在轴上.所以设所求双曲线的方程为. 则，解得：，即所求方程为：.18.菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.（1）求边所在直线的方程；（2）求对角线所在直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质得；再根据相互平行直线斜率相等及斜率公式计算；最后利用点斜式方程即可解答.（2）先求出线段的中点坐标及；再根据菱形性质、相互垂直直线斜率之间关系及点斜式方程即可解答.【小问1详解】由菱形的性质可知:.边所在直线过点，点坐标为， 则.又点坐标，边所在直线方程为，即.所以边所在直线的方程为.【小问2详解】，线段的中点为，且.由菱形的几何性质可知：且为的中点.则.所以对角线所在直线的方程为，即.所以对角线所在直线的方程为：.19.数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，且的欧拉线的方程为，若外接圆圆心记为.（1）求圆的方程；（2）过点引圆的切线，求切线的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得线段AB的中垂线方程，再与欧拉线方程联立求得圆心即可；（2）利用圆的切线长公式求解.【小问1详解】 因，则的中点为，又，则的中垂线方程为.将其与欧拉线方程联立有，解得故的外心为，则外接圆半径为，故圆的方程为.【小问2详解】设切点为，由题有，故切线长.20.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合.（1）求的方程；（2）若直线与相交于两点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，即可确定抛物线焦点，求得p，即可求得答案；（2）联立抛物线和直线方程，可得根与系数的关系式，利用弦长公式，即可求得答案.【小问1详解】双曲线即，焦点坐标为，又抛物线的焦点，，即.抛物线的方程为；【小问2详解】 将抛物线方程与直线方程联立得，消去，得，，设，则，故21.如图，四棱锥中，底面是矩形，，且.（1）求证：平面；（2）若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在点满足条件，是上靠近点的三等分点.【解析】【分析】（1）由已知条件可证明平面，故，同理可得，可得平面.（2）建立空间直角坐标系，设，利用向量法求二面角的余弦值，解出得点的位置.【小问1详解】，，平面，，故平面，平面，故，同理可得，，平面，故平面【小问2详解】如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系. 则设，则，有，，平面的一个法向量是，设平面的一个法向量是，则，取得，即，解得，即存在点满足条件，是上靠近点的三等分点.22.以双曲线顶点为焦点，离心率倒数的平方为离心率作一椭圆.（1）求的标准方程；（2）已知为的左焦点，过的直线与椭圆交于两点（在上方），且，若，求斜率的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由焦点坐标和离心率求椭圆标准方程；（2）设直线的方程，与椭圆联立方程组，由结合韦达定理，把斜率表示为的的函数，利用单调性求取值范围.【小问1详解】因为双曲线的顶点为，所以椭圆的焦点为，因为双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，设椭圆的标准方程为：，椭圆的焦距为，则，依题意，则，于是，因为，所以，故椭圆的标准方程为：.【小问2详解】在椭圆中，，过的直线与椭圆交于两点（在上方），且，，当直线斜率不存在时，显然不成立.当直线斜率存在时设方程为，，由得①联立消去得， ，②且③.由①②得：，代入③中得：，因为当时，不成立，，函数，时，，由，有，，则，，，在上单调递减，则有，得，由在上方且，所以.所以斜率的取值范围为.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．